题目

设n元线性方程组Ax=b的增广矩阵为(A b),方程组有解的充分必要条件是( )A.R(A b)=R(A); B.R(A)=n; C.R(A b)=n; D.R(A b)<n且R(A)<n.A.A R(A b)=R(A)B.B R(A)=nC.C R(A b)=nD.D R(A b)<n且R(A)<nE.E R(A b)=R(A)

设n元线性方程组Ax=b的增广矩阵为(A b),方程组有解的充分必要条件是( )A.R(A b)=R(A); B.R(A)=n; C.R(A b)=n; D.R(A b)<n且R(A)<n.
  • A.A R(A b)=R(A)
  • B.B R(A)=n
  • C.C R(A b)=n
  • D.D R(A b)<n且R(A)<n
  • E.E R(A b)=R(A)

题目解答

答案

A,E

解析

步骤 1：理解线性方程组的解的条件
线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是增广矩阵(A b)的秩等于系数矩阵A的秩，即R(A b)=R(A)。这是因为如果R(A b)≠R(A)，则方程组无解或有无穷多解，而R(A b)=R(A)则保证了方程组有解。

步骤 2：分析选项
A. R(A b)=R(A)：这是方程组有解的充分必要条件。
B. R(A)=n：这表示系数矩阵A的秩为n，但并不能保证增广矩阵(A b)的秩也等于n，因此不能保证方程组有解。
C. R(A b)=n：这表示增广矩阵(A b)的秩为n，但并不能保证系数矩阵A的秩也等于n，因此不能保证方程组有解。
D. R(A b)E. R(A b)=R(A)：这是方程组有解的充分必要条件，与选项A相同。