题目
4.计算下列不定积分.-|||-(6)int dfrac (sin dfrac {1)(x)}({x)^2}dx
题目解答
答案
解析
步骤 1：识别积分类型
观察积分 $\int \dfrac {\sin \dfrac {1}{x}}{{x}^{2}}dx$，可以发现被积函数中包含 $\sin \dfrac {1}{x}$ 和 ${x}^{2}$，这提示我们可能需要使用换元法来简化积分。
步骤 2：换元
设 $u = \dfrac{1}{x}$，则 $du = -\dfrac{1}{{x}^{2}}dx$，即 $-\dfrac{1}{{x}^{2}}dx = du$。将 $u$ 和 $du$ 代入原积分，得到 $\int \sin u \cdot (-du)$。
步骤 3：计算积分
计算 $\int \sin u \cdot (-du) = -\int \sin u du = \cos u + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 4：回代
将 $u = \dfrac{1}{x}$ 回代到 $\cos u + C$ 中，得到 $\cos \dfrac{1}{x} + C$。
观察积分 $\int \dfrac {\sin \dfrac {1}{x}}{{x}^{2}}dx$，可以发现被积函数中包含 $\sin \dfrac {1}{x}$ 和 ${x}^{2}$，这提示我们可能需要使用换元法来简化积分。
步骤 2：换元
设 $u = \dfrac{1}{x}$，则 $du = -\dfrac{1}{{x}^{2}}dx$，即 $-\dfrac{1}{{x}^{2}}dx = du$。将 $u$ 和 $du$ 代入原积分，得到 $\int \sin u \cdot (-du)$。
步骤 3：计算积分
计算 $\int \sin u \cdot (-du) = -\int \sin u du = \cos u + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 4：回代
将 $u = \dfrac{1}{x}$ 回代到 $\cos u + C$ 中，得到 $\cos \dfrac{1}{x} + C$。