题目
求下列函数的极值点:___-|||-=3axy-(x)^3-(y)^3(agt 0);
题目解答
答案
解析
步骤 1：求偏导数
首先，我们需要求出函数 $z=3axy-{x}^{3}-{y}^{3}$ 的偏导数。对于 $x$ 的偏导数，我们有：
$${z}_{x} = 3ay - 3x^2$$
对于 $y$ 的偏导数，我们有：
$${z}_{y} = 3ax - 3y^2$$
步骤 2：求稳定点
接下来，我们需要解方程组 $\left \{ \begin{matrix} {z}_{x}=3ay-3{x}^{2}=0,\\ {z}_{y}=3ax-3{y}^{2}=0\end{matrix} \right.$ 来找到稳定点。解这个方程组，我们得到：
$$3ay - 3x^2 = 0 \Rightarrow ay = x^2$$
$$3ax - 3y^2 = 0 \Rightarrow ax = y^2$$
将 $ay = x^2$ 代入 $ax = y^2$，我们得到：
$$a^2y = x^3$$
$$a^2x = y^3$$
解这个方程组，我们得到两个稳定点：$P(0,0)$ 和 $P_1(a,a)$。
步骤 3：判断极值点
为了判断这些稳定点是否为极值点，我们需要计算二阶偏导数，并使用二阶偏导数的判别式 $AC - B^2$。对于点 $P(0,0)$，我们有：
$$A = {z}_{xx}(0,0) = -6x|_{(0,0)} = 0$$
$$B = {z}_{xy}(0,0) = 3a$$
$$C = {z}_{yy}(0,0) = -6y|_{(0,0)} = 0$$
$$AC - B^2 = -9a^2 < 0$$
因此，点 $P(0,0)$ 不是极值点。对于点 $P_1(a,a)$，我们有：
$$A = {z}_{xx}(a,a) = -6a$$
$$B = {z}_{xy}(a,a) = 3a$$
$$C = {z}_{yy}(a,a) = -6a$$
$$AC - B^2 = 27a^2 > 0$$
因此，点 $P_1(a,a)$ 是极大值点。
首先，我们需要求出函数 $z=3axy-{x}^{3}-{y}^{3}$ 的偏导数。对于 $x$ 的偏导数，我们有：
$${z}_{x} = 3ay - 3x^2$$
对于 $y$ 的偏导数，我们有：
$${z}_{y} = 3ax - 3y^2$$
步骤 2：求稳定点
接下来，我们需要解方程组 $\left \{ \begin{matrix} {z}_{x}=3ay-3{x}^{2}=0,\\ {z}_{y}=3ax-3{y}^{2}=0\end{matrix} \right.$ 来找到稳定点。解这个方程组，我们得到：
$$3ay - 3x^2 = 0 \Rightarrow ay = x^2$$
$$3ax - 3y^2 = 0 \Rightarrow ax = y^2$$
将 $ay = x^2$ 代入 $ax = y^2$，我们得到：
$$a^2y = x^3$$
$$a^2x = y^3$$
解这个方程组，我们得到两个稳定点：$P(0,0)$ 和 $P_1(a,a)$。
步骤 3：判断极值点
为了判断这些稳定点是否为极值点，我们需要计算二阶偏导数，并使用二阶偏导数的判别式 $AC - B^2$。对于点 $P(0,0)$，我们有：
$$A = {z}_{xx}(0,0) = -6x|_{(0,0)} = 0$$
$$B = {z}_{xy}(0,0) = 3a$$
$$C = {z}_{yy}(0,0) = -6y|_{(0,0)} = 0$$
$$AC - B^2 = -9a^2 < 0$$
因此，点 $P(0,0)$ 不是极值点。对于点 $P_1(a,a)$，我们有：
$$A = {z}_{xx}(a,a) = -6a$$
$$B = {z}_{xy}(a,a) = 3a$$
$$C = {z}_{yy}(a,a) = -6a$$
$$AC - B^2 = 27a^2 > 0$$
因此，点 $P_1(a,a)$ 是极大值点。