题目
设A为n阶方阵，且A^2=A，证明：若A的秩为r，则A-E的秩为n-r，其中E是n阶单位矩阵.
设$A$为$n$阶方阵，且$A^{2}=A$，证明：若$A$的秩为$r$，则$A-E$的秩为$n-r$，其中$E$是$n$阶单位矩阵.
题目解答
答案
因为：$A^{2}=A$，所以：$Aleft(A-Eright)=0$，
则：$rleft(Aright)+rleft(A-Eright)leqslant n$，
又因为：$rleft(Aright)+rleft(A-Eright)=rleft(Aright)+rleft(E-Aright)geqslant rleft(A+E-Aright)=rleft(Eright)=n$，
所以：$rleft(Aright)+rleft(A-Eright)=n$，
则：$rleft(A-Eright)=n-r$，
证毕.
解析
步骤 1：利用已知条件$A^{2}=A$
由已知条件$A^{2}=A$，可以得到$A(A-E)=0$，其中$E$是$n$阶单位矩阵。这意味着$A$和$A-E$的乘积为零矩阵。
步骤 2：利用秩的性质
根据矩阵秩的性质，对于两个矩阵$X$和$Y$，有$r(X)+r(Y)\geqslant r(X+Y)$。特别地，当$XY=0$时，有$r(X)+r(Y)\leqslant n$，其中$n$是矩阵的阶数。
步骤 3：应用秩的性质
由于$A(A-E)=0$，根据秩的性质，有$r(A)+r(A-E)\leqslant n$。同时，由于$A-E$和$E-A$的秩相等，即$r(A-E)=r(E-A)$，所以$r(A)+r(E-A)\geqslant r(A+E-A)=r(E)=n$。因此，$r(A)+r(A-E)=n$。
步骤 4：得出结论
由$r(A)+r(A-E)=n$，且已知$A$的秩为$r$，可以得出$A-E$的秩为$n-r$。
由已知条件$A^{2}=A$，可以得到$A(A-E)=0$，其中$E$是$n$阶单位矩阵。这意味着$A$和$A-E$的乘积为零矩阵。
步骤 2：利用秩的性质
根据矩阵秩的性质，对于两个矩阵$X$和$Y$，有$r(X)+r(Y)\geqslant r(X+Y)$。特别地，当$XY=0$时，有$r(X)+r(Y)\leqslant n$，其中$n$是矩阵的阶数。
步骤 3：应用秩的性质
由于$A(A-E)=0$，根据秩的性质，有$r(A)+r(A-E)\leqslant n$。同时，由于$A-E$和$E-A$的秩相等，即$r(A-E)=r(E-A)$，所以$r(A)+r(E-A)\geqslant r(A+E-A)=r(E)=n$。因此，$r(A)+r(A-E)=n$。
步骤 4：得出结论
由$r(A)+r(A-E)=n$，且已知$A$的秩为$r$，可以得出$A-E$的秩为$n-r$。