lim _(xarrow 0)dfrac (1)(x)sin dfrac (1)(x)？

考查要点：本题主要考查极限的不存在性判断，特别是涉及无穷大与有界振荡函数乘积的情况。

解题核心思路：
当$x \to 0$时，$\dfrac{1}{x}$趋向于无穷大，而$\sin \dfrac{1}{x}$在$[-1,1]$之间无限振荡。此时需要判断无穷大乘以有界函数的极限是否存在。

破题关键点：

1. 有界函数的振荡性：$\sin \dfrac{1}{x}$的值始终在$-1$到$1$之间，但振荡频率随$x \to 0$加快。
2. 路径依赖性：通过构造不同的趋近路径（如$x_n = \dfrac{1}{n\pi}$和$x'_n = \dfrac{1}{(2n+1)\pi/2}$），发现极限值可能趋向于$0$或$\pm\infty$，从而说明极限不存在。

步骤1：分析各部分极限行为

• 当$x \to 0$时，$\dfrac{1}{x} \to \infty$（若$x$从右侧趋近）或$\dfrac{1}{x} \to -\infty$（若$x$从左侧趋近）。
• $\sin \dfrac{1}{x}$在$[-1,1]$之间无限振荡，无确定趋势。

步骤2：构造不同趋近路径

1. 路径1：取$x_n = \dfrac{1}{n\pi}$（$n$为自然数），此时$\dfrac{1}{x_n} = n\pi$，$\sin \dfrac{1}{x_n} = \sin(n\pi) = 0$，故表达式值为$0$，极限为$0$。
2. 路径2：取$x'_n = \dfrac{1}{(2n+1)\pi/2}$，此时$\dfrac{1}{x'_n} = (2n+1)\pi/2$，$\sin \dfrac{1}{x'_n} = \pm 1$，故表达式值为$\pm (2n+1)\pi/2$，极限为$\pm\infty$。

步骤3：结论推导
由于不同路径下极限值不同（有的为$0$，有的为$\pm\infty$），说明原极限不存在。但因为存在路径使值趋向于$\pm\infty$，因此不能说极限是$\infty$或$-\infty$。