题目
向量集中的共线关系是()A. 联络的B. 反称的C. 非称的D. 等价的
向量集中的共线关系是()
A. 联络的
B. 反称的
C. 非称的
D. 等价的
题目解答
答案
D. 等价的
解析
共线关系是向量代数中的重要概念,指两个非零向量方向相同或相反。本题考查共线关系的性质,需判断其属于等价关系。关键在于理解等价关系需满足自反性、对称性、传递性,并验证共线关系是否符合这些特性。
等价关系的三要素验证
-
自反性
任意向量$\mathbf{a}$与自身显然共线(方向相同),故自反性成立。 -
对称性
若$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$共线,则存在标量$k$使得$\mathbf{a} = k\mathbf{b}$。同理,$\mathbf{b} = \frac{1}{k}\mathbf{a}$($k \neq 0$),故对称性成立。 -
传递性
若$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$共线,$\mathbf{b}$与$\mathbf{c}$共线,则存在标量$k_1, k_2$使得$\mathbf{a} = k_1\mathbf{b}$,$\mathbf{b} = k_2\mathbf{c}$。因此$\mathbf{a} = k_1k_2\mathbf{c}$,即$\mathbf{a}$与$\mathbf{c}$共线,传递性成立。
综上,共线关系满足等价关系的所有性质,故答案为D。