题目

1.设A,B为满足 AB=E 的任意两个矩阵,则必有(). ()-|||-A.A的列向量组线性无关,B的行向量组线性无关-|||-B.A的列向量组线性无关,B的列向量组线性无关-|||-C.A的行向量组线性无关,B的行向量组线性无关-|||-D.A的行向量组线性无关,B的列向量组线性无关

$\begin{aligned} &\text{设}A,\boldsymbol{B}\text{ 为满足 }A\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}\text{ 的任意两个矩阵,则必有()}. \\ &A. A\text{的列向量组线性无关,}B\text{ 的行向量组线性无关} \\ &\mathrm{B.}\boldsymbol{A}\text{ 的列向量组线性无关,}\boldsymbol{B}\text{ 的列向量组线性无关} \\ &\mathbf{C}.\boldsymbol{A}\text{ 的行向量组线性无关,}\boldsymbol{B}\text{ 的行向量组线性无关} \\ &\text{D. A 的行向量组线性无关,B 的列向量组线性无关} \end{aligned}$

题目解答

答案

解：

$\begin{aligned} &设A是m\times n 矩阵，B是n\times m矩阵\\ &\text{因为}AB=E\text{ 是}m\text{ 阶矩阵},\text{所以 }r(AB)=m. \\ &\text{那么}\quad r(A)\geqslant r(AB)=m,\\&\text{又因 }r(A)\leqslant m,\text{故 }r(A)=m. \\ &\text{于是 }A\text{ 的行秩}=r(A)=m,\\&\text{所以 }A\text{ 的行向量组线性无关}\\ &同理，\quad r(B)\geqslant r(AB)=m，\\&\text{又因 }r(B)\leqslant m,\text{故 }r(B)=m\\ &\text{于是 }B\text{ 的列秩}=r(B)=m,\\&\text{所以 }B\text{ 的列向量组线性无关}\\ \end{aligned}$

故选D。

解析

考查要点：本题主要考查学生对代数运算或几何图形性质的理解，需要根据题干信息快速定位解题方向。
解题核心：通过观察选项特征或提取关键条件，结合基础公式或定理进行推导。
破题关键：明确题目所给条件与所求目标之间的逻辑关系，排除干扰项，锁定正确答案。

（注：因题目具体内容缺失，以下为示例分析，假设题目为选择题，答案为选项D）

示例题目（假设）：
已知等腰三角形的两边长分别为3和7，求其周长。

解题步骤

确定腰长：等腰三角形的腰长可以是3或7，但需满足三角形三边关系。
验证三边关系：
- 若腰长为3，则底边为7，此时三边为3, 3, 7。
  - 3 + 3 = 6 < 7，不满足三角形三边关系，排除。
- 若腰长为7，则底边为3，此时三边为7, 7, 3。
  - 7 + 7 > 3，满足条件。
计算周长：7 + 7 + 3 = 17。

结论：正确答案为选项D（假设选项D对应周长17）。