题目
10. (5.0分)微分方程 (dy)/(dx)=e^x 满足初始条件 y(0)=2的解为____.
10. (5.0分)微分方程 $\frac{dy}{dx}=e^{x}$ 满足初始条件 y(0)=2的解为____.
题目解答
答案
将微分方程 $\frac{dy}{dx} = e^x$ 改写为 $dy = e^x \, dx$，两边积分得：
\[
\int dy = \int e^x \, dx \implies y = e^x + C
\]
由初始条件 $y(0) = 2$，代入得：
\[
2 = e^0 + C \implies C = 1
\]
故解为：
\[
\boxed{y = e^x + 1}
\]
解析
步骤 1：分离变量
将微分方程 $\frac{dy}{dx} = e^x$ 改写为 $dy = e^x \, dx$，以便分离变量。
步骤 2：积分
对等式两边进行积分，得到 $y = \int e^x \, dx$。由于 $e^x$ 的原函数是 $e^x$，所以有 $y = e^x + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：应用初始条件
根据初始条件 $y(0) = 2$，代入 $x = 0$ 和 $y = 2$，得到 $2 = e^0 + C$。因为 $e^0 = 1$，所以 $2 = 1 + C$，从而得到 $C = 1$。
将微分方程 $\frac{dy}{dx} = e^x$ 改写为 $dy = e^x \, dx$，以便分离变量。
步骤 2：积分
对等式两边进行积分，得到 $y = \int e^x \, dx$。由于 $e^x$ 的原函数是 $e^x$，所以有 $y = e^x + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：应用初始条件
根据初始条件 $y(0) = 2$，代入 $x = 0$ 和 $y = 2$，得到 $2 = e^0 + C$。因为 $e^0 = 1$，所以 $2 = 1 + C$，从而得到 $C = 1$。