3.1 设f(x)=}(1-cos x)/(sqrt(x)),&x>0,x^2g(x),&xleqslant 0,其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处（）A. 极限不存在B. 极限存在，但不连续C. 连续，但不可导D. 可导

考查要点：本题主要考查分段函数在分界点处的连续性和可导性判断，涉及极限计算、等价无穷小替换、导数定义的应用。

解题核心思路：

1. 极限存在性：分别计算$x \to 0^+$和$x \to 0^-$的极限，结合等价无穷小和有界函数性质判断极限值。
2. 连续性：比较极限值与$f(0)$是否相等。
3. 可导性：通过导数定义计算左右导数，验证是否相等。

破题关键点：

• 右极限：利用$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$简化计算。
• 左极限：利用$g(x)$有界，通过夹逼定理得出极限。
• 导数计算：注意左右导数的定义，结合函数表达式分段处理。

1. 极限存在性

右极限（$x \to 0^+$）

利用等价无穷小$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos x}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2/2}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{3/2}}{2} = 0.$

左极限（$x \to 0^-$）

由$g(x)$有界，存在$M > 0$使得$|g(x)| \leq M$，则：
$|f(x)| = |x^2 g(x)| \leq M x^2 \to 0 \quad (x \to 0^-).$
由夹逼定理得$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$。

结论：$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$，极限存在。

2. 连续性

$f(0) = 0^2 g(0) = 0$，与极限值相等，故$f(x)$在$x=0$处连续。

3. 可导性

右导数（$h \to 0^+$）

$f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{1 - \cos h}{\sqrt{h}}}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^{3/2}/2}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h}}{2} = 0.$

左导数（$h \to 0^-$）

$f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h^2 g(h)}{h} = \lim_{h \to 0^-} h g(h).$
由$|h g(h)| \leq M |h| \to 0$，得$f'_-(0) = 0$。

结论：左右导数相等，故$f(x)$在$x=0$处可导。