题目
求极限: lim _(xarrow 0)((1+2x))^dfrac (1{sin 3x)}=
题目解答
答案
综上所述：
解析
步骤 1：等价无穷小替换
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\sin 3x\sim 3x$，因此可以将 $\sin 3x$ 替换为 $3x$，以简化极限的计算。
步骤 2：代入替换后的表达式
将 $\sin 3x$ 替换为 $3x$ 后，原极限变为 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+2x)}^{\dfrac {1}{3x}}$。
步骤 3：利用极限公式
利用极限公式 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+2x)}^{\dfrac {1}{2x}}=e$，可以将 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+2x)}^{\dfrac {1}{3x}}$ 转化为 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+2x)}^{\dfrac {1}{2x}\cdot \dfrac {2}{3}}$。
步骤 4：计算最终结果
根据步骤 3 的结果，可以得到 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+2x)}^{\dfrac {1}{3x}}={e}^{\dfrac {2}{3}}$。
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\sin 3x\sim 3x$，因此可以将 $\sin 3x$ 替换为 $3x$，以简化极限的计算。
步骤 2：代入替换后的表达式
将 $\sin 3x$ 替换为 $3x$ 后，原极限变为 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+2x)}^{\dfrac {1}{3x}}$。
步骤 3：利用极限公式
利用极限公式 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+2x)}^{\dfrac {1}{2x}}=e$，可以将 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+2x)}^{\dfrac {1}{3x}}$ 转化为 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+2x)}^{\dfrac {1}{2x}\cdot \dfrac {2}{3}}$。
步骤 4：计算最终结果
根据步骤 3 的结果，可以得到 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+2x)}^{\dfrac {1}{3x}}={e}^{\dfrac {2}{3}}$。