题目
lim _((x, y)arrow(2,0)) (sin (x y))/(y)= ().A. 1B. 0C. 2D. 不存在
$\lim _{(x, y)\rightarrow(2,0)} \frac{\sin (x y)}{y}=$ ().
A. 1
B. 0
C. 2
D. 不存在
题目解答
答案
C. 2
解析
步骤 1：变量代换
令 $u = xy$。当 $x \to 2$ 和 $y \to 0$ 时，$u \to 2 \cdot 0 = 0$。因此，原极限可以重写为： \[ \lim _{x,y \to 2,0} \frac { \sin (xy)}{y} = \lim _{y \to 0} \frac { \sin (2y)}{y} \]
步骤 2：应用正弦函数的极限性质
根据正弦函数的极限性质，$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$。为了应用这个性质，我们可以将极限表达式重写为： \[ \lim _{y \to 0} \frac { \sin (2y)}{y} = \lim _{y \to 0} \frac { \sin (2y)}{2y} \cdot 2 \]
步骤 3：计算极限
根据正弦函数的极限性质，$\lim _{y \to 0} \frac { \sin (2y)}{2y} = 1$。因此，我们有： \[ \lim _{y \to 0} \frac { \sin (2y)}{y} = 1 \cdot 2 = 2 \]
令 $u = xy$。当 $x \to 2$ 和 $y \to 0$ 时，$u \to 2 \cdot 0 = 0$。因此，原极限可以重写为： \[ \lim _{x,y \to 2,0} \frac { \sin (xy)}{y} = \lim _{y \to 0} \frac { \sin (2y)}{y} \]
步骤 2：应用正弦函数的极限性质
根据正弦函数的极限性质，$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$。为了应用这个性质，我们可以将极限表达式重写为： \[ \lim _{y \to 0} \frac { \sin (2y)}{y} = \lim _{y \to 0} \frac { \sin (2y)}{2y} \cdot 2 \]
步骤 3：计算极限
根据正弦函数的极限性质，$\lim _{y \to 0} \frac { \sin (2y)}{2y} = 1$。因此，我们有： \[ \lim _{y \to 0} \frac { \sin (2y)}{y} = 1 \cdot 2 = 2 \]