8.由洛必达法则求极限 lim _(xarrow infty )dfrac (x+sin x)(x)=lim _(xarrow infty )(1+cos x), 因为 lim _(xarrow infty )(1+cos x 不存在,则 lim _(xarrow infty )dfrac (x+sin x)(x) 不存-|||-在. ()-|||-A.正确 B.错误

考查要点：本题主要考查洛必达法则的正确应用条件及极限的计算方法，重点在于识别解题过程中的逻辑错误。

解题核心思路：

1. 判断原式是否满足洛必达法则的使用条件（∞/∞型）。
2. 正确应用洛必达法则，对分子分母分别求导后重新计算极限。
3. 分析题目中错误步骤：题目错误地将原式拆分后直接应用洛必达法则，导致结论错误。

破题关键点：

• 原式拆分后为 $\dfrac{x+\sin x}{x} = 1 + \dfrac{\sin x}{x}$，其中 $\dfrac{\sin x}{x}$ 的极限为 $0$，因此原极限应为 $1$。
• 题目中错误地将拆分后的表达式 $\lim_{x \to \infty} (1 + \cos x)$ 作为洛必达法则的结果，混淆了直接拆分与求导的步骤。

步骤1：判断原式是否满足洛必达法则条件

原式 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{x + \sin x}{x}$ 的分子和分母均趋于无穷大，属于 ∞/∞型不定式，满足洛必达法则的使用条件。

步骤2：正确应用洛必达法则

对分子 $x + \sin x$ 和分母 $x$ 分别求导：

• 分子导数：$\dfrac{d}{dx}(x + \sin x) = 1 + \cos x$
• 分母导数：$\dfrac{d}{dx}(x) = 1$

根据洛必达法则，原极限可转化为：
$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1 + \cos x}{1} = \lim_{x \to \infty} (1 + \cos x)$
此时，$\cos x$ 在 $[-1, 1]$ 之间振荡，因此 $\lim_{x \to \infty} (1 + \cos x)$ 不存在。

步骤3：分析题目中的错误

题目中直接将原式拆分为 $\lim_{x \to \infty} (1 + \cos x)$，并错误地认为这是洛必达法则的结果。然而，原式拆分后的正确形式应为 $\dfrac{x+\sin x}{x} = 1 + \dfrac{\sin x}{x}$，其中 $\dfrac{\sin x}{x}$ 的极限为 $0$，因此原极限应为 $1$。题目中的解法混淆了直接拆分与求导的步骤，导致结论错误。