设平面图形 D 由抛物线 y = x^2 与直线 y = x 围成，画出草图并求出：(1) D 的面积；(2) D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

问题求解总结

(1) 平面图形 $ D $ 的面积

• 步骤1：确定积分区间
  联立抛物线 $ y = x^2 $ 与直线 $ y = x $，解得交点横坐标为 $ x = 0 $ 和 $ x = 1 $，故积分区间为 $[0, 1]$。

• 步骤2：计算面积
  在区间 $[0, 1]$ 上，直线 $ y = x $ 位于抛物线 $ y = x^2 $ 上方，因此面积为：
  $A = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \frac{1}{6}$

(2) $ D $ 绕 $ x $-轴旋转所得旋转体的体积

• 步骤1：应用圆盘法
  旋转体体积等于外曲线（直线 $ y = x $）旋转形成的体积减去内曲线（抛物线 $ y = x^2 $）旋转形成的体积：

  $V = \pi \int_{0}^{1} \left[ x^2 - (x^2)^2 \right] dx = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - x^4) \, dx$

• 步骤2：计算体积
  积分结果为：
  $V = \frac{2\pi}{15}$

草图说明

在平面直角坐标系中：

• 抛物线 $ y = x^2 $ 开口向上，过原点；
• 直线 $ y = x $ 过原点，斜率为1；
• 二者在 $ (0,0) $ 和 $ (1,1) $ 处相交；
• 区域 $ D $ 为两曲线之间从 $ x=0 $ 到 $ x=1 $ 的封闭区域。