题目
已知曲面S的第一基本形式I=du^2+u^2dv^2，由u=0,u=3,v=0,v=π所围成的曲面域的面积（）
已知曲面S的第一基本形式$I=du^{2}+u^{2}dv^{2}$，由u=0,u=3,v=0,v=π所围成的曲面域的面积（）
题目解答
答案
由第一基本形式 $ I = du^2 + u^2 dv^2 $，得 $ E = 1 $，$ F = 0 $，$ G = u^2 $。
面积元素为：
\[
dA = \sqrt{EG - F^2} \, du \, dv = \sqrt{u^2} \, du \, dv = u \, du \, dv \quad (\text{因 } u \geq 0)
\]
积分求面积：
\[
A = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{3} u \, du \, dv = \int_{0}^{\pi} \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{3} dv = \int_{0}^{\pi} \frac{9}{2} dv = \frac{9\pi}{2}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{9\pi}{2}}$