【例】设f(x)=int_(0)^1-cos xsin t^2dt,g(x)=(x^5)/(5)+(x^6)/(6)则当x→0时，f(x)是g(x)的A. 低阶无穷小.B. 高阶无穷小.C. 等价无穷小.D. 同阶但非等价无穷小.

本题考查无穷小的比较以及洛必达法则和等价无穷小替换的应用。解题的关键思路是通过求极限$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$，根据极限值的情况来判断$f(x)$是$g(x)$的哪种无穷小。

1. 首先明确$f(x)=\int_{0}^{1 - \cos x} \sin t^2 dt$，$g(x)=\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}$，要求$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$。
   • 当$x \to 0$时，$f(0)=\int_{0}^{1 - \cos 0} \sin t^2 dt=\int_{0}^{0} \sin t^2 dt = 0$，$g(0)=\frac{0^5}{5}+\frac{0^6}{6}=0$，此极限为$\frac{0}{0}$型，可使用洛必达法则。
2. 对$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$使用洛必达法则：
   • 根据变上限积分求导公式$(\int_{a}^{\varphi(x)} f(t)dt)^\prime=f(\varphi(x))\cdot\varphi^\prime(x)$，对$f(x)$求导，$f^\prime(x)=\sin(1 - \cos x)^2\cdot(1 - \cos x)^\prime$。
   • 因为$(1 - \cos x)^\prime=\sin x$，所以$f^\prime(x)=\sin(1 - \cos x)^2\cdot\sin x$。
   • 对$g(x)$求导，$g^\prime(x)=(\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6})^\prime=x^4 + x^5$。
   • 则$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(1 - \cos x)^2\cdot\sin x}{x^4 + x^5}$。
3. 利用等价无穷小替换：
   • 当$u \to 0$时，$\sin u\sim u$，当$x \to 0$时，$1 - \cos x\sim\frac{1}{2}x^2$，则$\sin(1 - \cos x)^2\sim(1 - \cos x)^2\sim(\frac{1}{2}x^2)^2=\frac{1}{4}x^4$，$\sin x\sim x$。
   • 所以$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(1 - \cos x)^2\cdot\sin x}{x^4 + x^5}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4}x^4\cdot x}{x^4 + x^5}$。
4. 化简极限式子：
   • $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4}x^4\cdot x}{x^4 + x^5}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4}x^5}{x^4(1 + x)}$。
   • 约去$x^4$得$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4}x}{1 + x}$。
5. 计算极限值：
   • 将$x = 0$代入$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4}x}{1 + x}$，可得$\frac{\frac{1}{4}\times0}{1 + 0}=0$。