设向量组A:α1=(1,4,1,0),α2=(2,1,-1,-3),α3=(1,0,-3,-1),α4=(0,2,-6,3)。 求向量组A的秩及一个最大无关组。

步骤 1：构造矩阵
构造一个矩阵，其行向量为向量组A中的向量。即构造矩阵
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
4 & 1 & 0 & 2 \\
1 & -1 & -3 & -6 \\
0 & -3 & -1 & 3
\end{pmatrix}
\]
步骤 2：进行初等行变换
对矩阵进行初等行变换，以化简矩阵，使其成为阶梯形矩阵。具体步骤如下：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
4 & 1 & 0 & 2 \\
1 & -1 & -3 & -6 \\
0 & -3 & -1 & 3
\end{pmatrix}
\]
r2-4r1,r3-r1
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & -7 & -4 & 2 \\
0 & -3 & -4 & -6 \\
0 & -3 & -1 & 3
\end{pmatrix}
\]
r2-2r4,r3-r4
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & -1 & -2 & -4 \\
0 & 0 & -3 & -9 \\
0 & -3 & -1 & 3
\end{pmatrix}
\]
r4-3r2
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & -1 & -2 & -4 \\
0 & 0 & -3 & -9 \\
0 & 0 & 5 & 15
\end{pmatrix}
\]
r4+(5/3)r3
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & -1 & -2 & -4 \\
0 & 0 & -3 & -9 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
步骤 3：确定秩和最大无关组
从化简后的矩阵可以看出，矩阵的秩为3，即向量组A的秩为3。同时，矩阵的前3行构成一个最大无关组，即向量组A的一个最大无关组为α1,α2,α3。