某种机器按设计要求使用寿命超过20年的概率为0.8，超过30年的概率为0.5，求该机器在使用20年以后，将在10年内损坏的概率。
某种机器按设计要求使用寿命超过20年的概率为0.8，超过30年的概率为0.5，求该机器在使用20年以后，将在10年内损坏的概率。
题目解答
答案
设事件A为该机器使用寿命超过20年，事件B为该机器使用寿命超过30年，则$$P(A)=0.8$$，$$P(B)=0.5$$，显然，一个机器使用寿命超过30年，则该机器寿命必定超过20年，因而$$B \subseteq A$$, 故$$P(AB)=P(B)=0.5$$，设事件C为该机器使用20年后，将在十年内损坏，即该机器使用寿命超过20年，但是未达到30年，因而$$P(C)=P(\overline B\mid A)$$，故$$P(C)=P(\overline B\mid A)$$$$=1-P(B\mid A)$$$$=1-\frac{P(AB)}{P(A)}$$$$=1-\frac{P(B)}{P(A)}$$$$=1-\frac{0.5}{0.8} =\frac{3}{8}$$
解析
考查要点：本题主要考查条件概率的应用，以及事件包含关系的理解。
解题核心思路：
- 明确事件之间的包含关系（如超过30年寿命必然超过20年寿命）；
- 将所求概率转化为已知概率的条件概率形式；
- 利用条件概率公式计算最终结果。
破题关键点：
- 识别事件包含关系：超过30年寿命（事件B）是超过20年寿命（事件A）的子集（$B \subseteq A$）；
- 理解所求事件：机器在20年后10年内损坏等价于“寿命超过20年但不超过30年”，即事件$A \cap \overline{B}$；
- 应用条件概率公式：$P(\overline{B} \mid A) = 1 - P(B \mid A)$，并结合事件包含关系简化计算。
步骤1：定义事件与已知概率
- 设事件$A$为“寿命超过20年”，则$P(A) = 0.8$；
- 设事件$B$为“寿命超过30年”，则$P(B) = 0.5$；
- 由于超过30年必然超过20年，故$B \subseteq A$，因此$P(AB) = P(B) = 0.5$。
步骤2：明确所求事件
所求概率为“在寿命超过20年的条件下，寿命不超过30年”，即：
$P(\overline{B} \mid A) = \frac{P(A \cap \overline{B})}{P(A)}.$
步骤3：计算联合概率$P(A \cap \overline{B})$
由于$B \subseteq A$，有：
$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(B) = 0.8 - 0.5 = 0.3.$
步骤4：代入条件概率公式
$P(\overline{B} \mid A) = \frac{0.3}{0.8} = \frac{3}{8}.$