函数f(x)在区间[a，b]上连续是f(x)在[a，b]上可积的______A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件

考查要点：本题主要考查函数连续性与可积性之间的逻辑关系，需要明确两者之间的蕴含方向。

解题核心思路：

1. 连续函数的可积性：根据数学分析中的定理，连续函数在闭区间上必定可积，因此连续性是可积的一个充分条件。
2. 可积性的其他条件：可积性并不要求函数必须连续，例如存在某些不连续的有界函数仍然可积（如有限个不连续点的函数）。因此，连续性不是必要条件。

破题关键点：

• 明确“充分条件”与“必要条件”的定义：
  • 充分条件：满足该条件则结论一定成立，但结论成立时条件不一定成立。
  • 必要条件：结论成立时条件一定成立，但满足条件时结论不一定成立。
• 结合定理判断：连续性保证可积性，但可积性不保证连续性，因此连续性是可积的充分条件。

关键步骤分析：

1. 定理回顾：

   • 定理1：若函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，则$f(x)$在$[a, b]$上可积。
   • 定理2：存在可积函数在$[a, b]$上不连续（例如分段函数$f(x) = \begin{cases} 1, & x \text{有理数}, \\ 0, & x \text{无理数} \end{cases}$在某些条件下可积）。

2. 逻辑关系推导：

   • 根据定理1，连续性$\Rightarrow$可积性，说明连续性是可积的充分条件。
   • 根据定理2，存在可积但不连续的情况，说明连续性不是必要条件。
   • 综上，连续性是可积的充分但不必要条件，对应选项A。