4.(判断题)已知sum_(n=1)^inftya_(n)x^n的收敛半径为R，则sum_(n=1)^inftya_(n)x^2n的收敛半径为sqrt(R)。A. 对B. 错

本题考查幂级数收敛半径的计算。解题思路是通过换元法将幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}x^{2n}$转化为常见形式$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}t^{n}$，再利用已知幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}x^{n}$的收敛半径来确定$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}x^{2n}$的收敛半径。

1. 设$t = x^{2}$，则幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}x^{2n}$可转化为$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}t^{n}$。
2. 已知幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}x^{n}$的收敛半径为$R$，根据幂级数收敛半径的定义，对于幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}t^{n}$，当$\vert t\vert\lt R$时，该幂级数绝对收敛；当$\vert t\vert\gt R$时，该幂级数发散。
3. 因为$t = x^{2}$，所以将$\vert t\vert\lt R$中的$t$替换为$x^{2}$，得到$\vert x^{2}\vert\lt R$。
4. 解不等式$\vert x^{2}\vert\lt R$，由于$\vert x^{2}\vert=x^{2}$（$x^{2}\geq0$），则$x^{2}\lt R$，即$\vert x\vert\lt\sqrt{R}$。
5. 根据幂级数收敛半径的定义，可知幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}x^{2n}$的收敛半径为$\sqrt{R}$。