单选题（共20题，100.0分） 3.（5.0分）设L是圆周x^2+y^2=1上由点A(1,0)到点B(0,1)较短的那段弧，则int_{2xydx+(1+x^2)dy等于：(5.0) A. 1 B. 2 C. (1)/(3) D. -(1)/(3)

为了计算曲线积分 $\int_L (2xy \, dx + (1 + x^2) \, dy)$，其中 $L$ 是圆周 $x^2 + y^2 = 1$ 上由点 $A(1,0)$ 到点 $B(0,1)$ 较短的那段弧，我们可以使用格林公式。格林公式 states: \[ \int_L (P \, dx + Q \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA \] 其中 $P = 2xy$ 和 $Q = 1 + x^2$。首先，我们计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (1 + x^2) = 2x \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2xy) = 2x \] 因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x - 2x = 0$。根据格林公式，我们有: \[ \int_L (2xy \, dx + (1 + x^2) \, dy) = \iint_D 0 \, dA = 0 \] 但是，格林公式要求 $L$ 是闭合曲线，而题目中的 $L$ 只是圆周上的一段弧。为了使用格林公式，我们需要将 $L$ 闭合，可以添加线段 $BA$（从 $B(0,1)$ 到 $A(1,0)$）。设 $C$ 是由 $L$ 和 $BA$ 组成的闭合曲线，那么: \[ \int_C (2xy \, dx + (1 + x^2) \, dy) = \iint_D 0 \, dA = 0 \] 因此: \[ \int_L (2xy \, dx + (1 + x^2) \, dy) + \int_{BA} (2xy \, dx + (1 + x^2) \, dy) = 0 \] 所以: \[ \int_L (2xy \, dx + (1 + x^2) \, dy) = -\int_{BA} (2xy \, dx + (1 + x^2) \, dy) \] 现在，我们计算 $\int_{BA} (2xy \, dx + (1 + x^2) \, dy)$。线段 $BA$ 的方程为 $y = -x + 1$，从 $B(0,1)$ 到 $A(1,0)$。将 $y = -x + 1$ 代入积分，我们得到: \[ dy = -dx \] 所以: \[ \int_{BA} (2xy \, dx + (1 + x^2) \, dy) = \int_0^1 \left[ 2x(-x + 1) \, dx + (1 + x^2)(-dx) \right] \] \[ = \int_0^1 \left[ -2x^2 + 2x - 1 - x^2 \right] \, dx \] \[ = \int_0^1 \left[ -3x^2 + 2x - 1 \right] \, dx \] \[ = \left[ -x^3 + x^2 - x \right]_0^1 \] \[ = \left( -1^3 + 1^2 - 1 \right) - \left( -0^3 + 0^2 - 0 \right) \] \[ = -1 + 1 - 1 \] \[ = -1 \] 因此: \[ \int_L (2xy \, dx + (1 + x^2) \, dy) = -(-1) = 1 \] 所以，正确答案是: \[ \boxed{A} \]