信号x(t)=2cos(10t+1)-sin(4t-1)的周期是 。

考查要点：本题主要考查周期信号的周期求解方法，特别是多个正弦信号叠加后的周期确定。

解题核心思路：

1. 分解信号：将复合信号分解为两个基本正弦分量（余弦项和正弦项）。
2. 求各分量周期：分别计算每个正弦分量的周期。
3. 求最小公倍数：找到两个周期的最小公倍数，即为整个信号的周期。

破题关键点：

• 角频率与周期的关系：周期 $T = \frac{2\pi}{\omega}$，其中 $\omega$ 是角频率。
• 有理数比值：若两个分量的角频率比值为有理数，则存在公共周期；否则信号为非周期。本题中 $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$，是有理数，因此存在周期。

1. 分解信号
   信号 $x(t) = 2\cos(10t + 1) - \sin(4t - 1)$ 由两个正弦分量组成：

   • 余弦分量：$2\cos(10t + 1)$，角频率 $\omega_1 = 10$
   • 正弦分量：$-\sin(4t - 1)$，角频率 $\omega_2 = 4$

2. 求各分量周期

   • 余弦分量周期：
     $T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$
   • 正弦分量周期：
     $T_2 = \frac{2\pi}{\omega_2} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

3. 求最小公倍数

   • 整数倍关系：设公共周期为 $T$，需满足 $T = kT_1 = mT_2$（$k, m$ 为整数）。
   • 方程推导：
     $k \cdot \frac{\pi}{5} = m \cdot \frac{\pi}{2} \implies \frac{k}{5} = \frac{m}{2} \implies 2k = 5m$
   • 最小整数解：取 $k = 5$，$m = 2$，得公共周期：
     $T = 5 \cdot \frac{\pi}{5} = \pi$