题目
设有一批同一型号的产品,由一,二,三个工厂生产,其中由一厂生产的概率0.4,二厂生产的概率0.3,三厂生产的概率0.3,又知这三个工厂的产品次品率为0.01,0.03,0.02。求(1)从这批产品中任取一件是次品的概率;(2)从这批产品中任取一件,已知取到的是次品,此次品出自于一厂的概率。
设有一批同一型号的产品,由一,二,三个工厂生产,其中由一厂生产的概率0.4,二厂生产的概率0.3,三厂生产的概率0.3,又知这三个工厂的产品次品率为0.01,0.03,0.02。求
(1)从这批产品中任取一件是次品的概率;
(2)从这批产品中任取一件,已知取到的是次品,此次品出自于一厂的概率。
题目解答
答案
(1) 设事件
表示“任取一件产品是由第i个工厂生产的”，其中i = 1, 2, 3。
设事件B表示“任取一件产品是次品”。
各工厂产品的次品率分别为：
任取一件产品是次品的概率：
= 0.019
(2) 设事件C表示“已知取到的是次品，此次品出自于一厂”。
利用贝叶斯公式：
其中，P(B)已经在(1)中求出为0.019。
代入已知数据，得：
所以，答案为(1)0.019，（2）
。
解析
步骤 1：定义事件
设事件$A_i$表示“任取一件产品是由第$i$个工厂生产的”，其中$i = 1, 2, 3$。设事件$B$表示“任取一件产品是次品”。
步骤 2：计算各工厂产品的次品率
已知$P(A_1) = 0.4$，$P(A_2) = 0.3$，$P(A_3) = 0.3$。各工厂产品的次品率分别为$P(B|A_1) = 0.01$，$P(B|A_2) = 0.03$，$P(B|A_3) = 0.02$。
步骤 3：计算任取一件产品是次品的概率
利用全概率公式，计算任取一件产品是次品的概率$P(B)$：
$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)$
$= 0.4 \times 0.01 + 0.3 \times 0.03 + 0.3 \times 0.02$
$= 0.019$
步骤 4：计算已知取到的是次品，此次品出自于一厂的概率
利用贝叶斯公式，计算已知取到的是次品，此次品出自于一厂的概率$P(A_1|B)$：
$P(A_1|B) = \dfrac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}$
$= \dfrac{0.4 \times 0.01}{0.019}$
$= \dfrac{0.004}{0.019}$
$= \dfrac{4}{19}$
设事件$A_i$表示“任取一件产品是由第$i$个工厂生产的”，其中$i = 1, 2, 3$。设事件$B$表示“任取一件产品是次品”。
步骤 2：计算各工厂产品的次品率
已知$P(A_1) = 0.4$，$P(A_2) = 0.3$，$P(A_3) = 0.3$。各工厂产品的次品率分别为$P(B|A_1) = 0.01$，$P(B|A_2) = 0.03$，$P(B|A_3) = 0.02$。
步骤 3：计算任取一件产品是次品的概率
利用全概率公式，计算任取一件产品是次品的概率$P(B)$：
$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)$
$= 0.4 \times 0.01 + 0.3 \times 0.03 + 0.3 \times 0.02$
$= 0.019$
步骤 4：计算已知取到的是次品，此次品出自于一厂的概率
利用贝叶斯公式，计算已知取到的是次品，此次品出自于一厂的概率$P(A_1|B)$：
$P(A_1|B) = \dfrac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}$
$= \dfrac{0.4 \times 0.01}{0.019}$
$= \dfrac{0.004}{0.019}$
$= \dfrac{4}{19}$