题目

7.对于λ的不同值，讨论矩阵A的秩，其中A=}lambda & 1 & 1 & 11 & lambda & 1 & 11 & 1 & lambda & 11 & 1 & 1 & lambda

7.对于λ的不同值，讨论矩阵A的秩，其中$A=\begin{pmatrix}\lambda & 1 & 1 & 1\\1 & \lambda & 1 & 1\\1 & 1 & \lambda & 1\\1 & 1 & 1 & \lambda\end{pmatrix}$

题目解答

答案

设矩阵 $ A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix} $。
计算行列式得：
$\det(A) = (\lambda - 1)^3 (\lambda + 3)$
情况分析：

  1. 当 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq -3$ 时，
    $\det(A) \neq 0$，矩阵满秩，秩为 4。

  2. 当 $\lambda = 1$ 时，
    矩阵变为 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $，所有行相同，秩为 1。

  3. 当 $\lambda = -3$ 时，
    矩阵变为 $ A = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -3 \end{pmatrix} $，经行变换后秩为 3。

结论：
$\boxed{\begin{cases}4, & \lambda \neq 1 \text{ 且 } \lambda \neq -3, \\1, & \lambda = 1, \\3, & \lambda = -3.\end{cases}}$