题目

4-12 设系统微分方程为y''(t)+4y'(t)+3y(t)=2f'(t)+f(t)已知y(0_(-))=1,y'(0_(-))=1,f(t)=e^-2tvarepsilon(t),试用s域方法求零输入响应和零状态响应

4-12 设系统微分方程为 $y''(t)+4y'(t)+3y(t)=2f'(t)+f(t)$ 已知$y(0_{-})=1,y'(0_{-})=1,f(t)=e^{-2t}\varepsilon(t),$试用s域方法求零输入响应和零状态响应

题目解答

答案

为了求解给定微分方程 $ y''(t) + 4y'(t) + 3y(t) = 2f'(t) + f(t) $ 的零输入响应和零状态响应，我们将使用拉普拉斯变换。已知初始条件为 $ y(0_-) = 1 $ 和 $ y'(0_-) = 1 $，输入函数为 $ f(t) = e^{-2t} \varepsilon(t) $。 ### 第1步：对微分方程进行拉普拉斯变换 首先，我们对微分方程的每一项进行拉普拉斯变换。设 $ Y(s) $ 是 $ y(t) $ 的拉普拉斯变换，$ F(s) $ 是 $ f(t) $ 的拉普拉斯变换。拉普拉斯变换的性质给出： \[ \mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2 Y(s) - s y(0_-) - y'(0_-) = s^2 Y(s) - s - 1, \] \[ \mathcal{L}\{y'(t)\} = s Y(s) - y(0_-) = s Y(s) - 1, \] \[ \mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s), \] \[ \mathcal{L}\{f'(t)\} = s F(s) - f(0_-) = s F(s) \quad \text{(因为 } f(0_-) = 0\text{)}, \] \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s). \] 输入函数 $ f(t) = e^{-2t} \varepsilon(t) $ 的拉普拉斯变换为： \[ F(s) = \frac{1}{s+2}. \] 将这些变换代入微分方程，我们得到： \[ s^2 Y(s) - s - 1 + 4(s Y(s) - 1) + 3 Y(s) = 2 s \frac{1}{s+2} + \frac{1}{s+2}. \] 简化左边，我们有： \[ s^2 Y(s) - s - 1 + 4s Y(s) - 4 + 3 Y(s) = (s^2 + 4s + 3) Y(s) - s - 5. \] 简化右边，我们有： \[ 2 s \frac{1}{s+2} + \frac{1}{s+2} = \frac{2s + 1}{s+2}. \] 因此，方程变为： \[ (s^2 + 4s + 3) Y(s) - s - 5 = \frac{2s + 1}{s+2}. \] 解出 $ Y(s) $，我们得到： \[ (s^2 + 4s + 3) Y(s) = s + 5 + \frac{2s + 1}{s+2}, \] \[ Y(s) = \frac{s + 5}{s^2 + 4s + 3} + \frac{2s + 1}{(s+2)(s^2 + 4s + 3)}. \] 由于 $ s^2 + 4s + 3 = (s+1)(s+3) $，我们可以重写 $ Y(s) $ 为： \[ Y(s) = \frac{s + 5}{(s+1)(s+3)} + \frac{2s + 1}{(s+2)(s+1)(s+3)}. \] ### 第2步：将 $ Y(s) $ 分解为零输入响应和零状态响应 零输入响应 $ Y_{zi}(s) $ 是通过将输入设置为零得到的，即 $ F(s) = 0 $： \[ Y_{zi}(s) = \frac{s + 5}{(s+1)(s+3)}. \] 零状态响应 $ Y_{zs}(s) $ 是通过将初始条件设置为零得到的，即 $ y(0_-) = 0 $ 和 $ y'(0_-) = 0 $： \[ Y_{zs}(s) = \frac{2s + 1}{(s+2)(s+1)(s+3)}. \] ### 第3步：对零输入响应进行逆拉普拉斯变换 我们将 $ Y_{zi}(s) $ 分解为部分分式： \[ Y_{zi}(s) = \frac{s + 5}{(s+1)(s+3)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+3}. \] 解出 $ A $ 和 $ B $，我们得到： \[ A(s+3) + B(s+1) = s + 5, \] \[ As + 3A + Bs + B = s + 5, \] \[ (A + B)s + (3A + B) = s + 5. \] 这给出了方程组： \[ A + B = 1, \] \[ 3A + B = 5. \] 解这个方程组，我们得到： \[ 2A = 4 \implies A = 2, \] \[ B = 1 - A = 1 - 2 = -1. \] 因此， \[ Y_{zi}(s) = \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+3}. \] 对 $ Y_{zi}(s) $ 进行逆拉普拉斯变换，我们得到： \[ y_{zi}(t) = 2e^{-t} - e^{-3t}. \] ### 第4步：对零状态响应进行逆拉普拉斯变换 我们将 $ Y_{zs}(s) $ 分解为部分分式： \[ Y_{zs}(s) = \frac{2s + 1}{(s+2)(s+1)(s+3)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s+3}. \] 解出 $ A $， $ B $，和 $ C $，我们得到： \[ A(s+1)(s+3) + B(s+2)(s+3) + C(s+2)(s+1) = 2s + 1. \] 代入 $ s = -2 $： \[ A(-2+1)(-2+3) = 2(-2) + 1 \implies A(-1)(1) = -3 \implies A = 3. \] 代入 $ s = -1 $： \[ B(-1+2)(-1+3) = 2(-1) + 1 \implies B(1)(2) = -1 \implies B = -\frac{1}{2}. \] 代入 $ s = -3 $： \[ C(-3+2)(-3+1) = 2(-3) + 1 \implies C(-1)(-2) = -5 \implies C = -\frac{5}{2}. \] 因此， \[ Y_{zs}(s) = \frac{3}{s+2} - \frac{1/2}{s+1} - \frac{5/2}{s+3}. \] 对 $ Y_{zs}(s) $ 进行逆拉普拉斯变换，我们得到： \[ y_{zs}(t) = 3e^{-2t} - \frac{1}{2}e^{-t} - \frac{5}{2}e^{-3t}. \] ### 最终答案 零输入响应为： \[ \boxed{2e^{-t} - e^{-3t}}. \] 零状态响应为： \[ \boxed{3e^{-2t} - \frac{1}{2}e^{-t} - \frac{5}{2}e^{-3t}}. \]

解析

本题主要考察利用拉普拉斯变换求解系统的零输入响应和零状态响应，具体步骤如下：

1. 对微分方程进行拉普拉斯变换

给定微分方程：
$y''(t) + 4y'(t) + 3y(t) = 2f'(t) + f(t)$
已知初始条件 $y(0_-) = 1$, $y'(0_-) = 1$，输入 $f(t) = e^{-2t}\varepsilon(t)$，其拉普拉斯变换 $F(s) = \frac{1}{s+2}$。

对微分方程两边取拉普拉斯变换，利用导数的拉普拉斯变换性质：

  • $\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0_-) - y'(0_-) = s^2Y(s) - s - 1$
  • $\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0_-) = sY(s) - 1$
  • $\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0_-) = sF(s)$（因 $f(0_-) = 0$）

代入方程整理得：
$(s^2 + 4s + 3)Y(s) - s - 5 = \frac{2s + 1}{s+2}$
解得：
$Y(s) = \frac{s + 5}{(s+1)(s+3)} + \frac{2s + 1}{(s+2)(s+1)(s+3)}$

2. 分解零输入响应 $Y_{zi}(s)$ 和零状态响应 $Y_{zs}(s)$

  • 零输入响应：输入 $f(t) = 0$，仅由初始条件引起：
    $Y_{zi}(s) = \frac{s + 5}{(s+1)(s+3)}$
  • 零状态响应：初始条件为零，仅由输入引起：
    $Y_{zs}(s) = \frac{2s + 1}{(s+2)(s+1)(s+3)}$

3. 逆拉普拉斯变换求时域响应

零输入响应 $y_{zi}(t)$

部分分式分解：
$Y_{zi}(s) = \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+3}$
逆变换得：
$y_{zi}(t) = 2e^{-t} - e^{-3t}$

零状态响应 $y_{zs}(t)$

部分分式分解：
$Y_{zs}(s) = \frac{3}{s+2} - \frac{1/2}{s+1} - \frac{5/2}{s+3}$
逆变换得：
$y_{zs}(t) = 3e^{-2t} - \frac{1}{2}e^{-t} - \frac{5}{2}e^{-3t}$