(5)设随机变量X的分布律为 X=k =theta ((1-theta ))^k-1 ,k=1, 2,···,其中 lt theta lt 1.-|||-若 Xleqslant 2 =dfrac (5)(9), 则 X=3 = __ .

考查要点：本题主要考查几何分布的概率计算，以及根据已知条件求解参数θ的能力。

解题核心思路：

1. 识别几何分布：题目中给出的分布律形式为几何分布，即$P\{X=k\} = \theta(1-\theta)^{k-1}$，其中$\theta$为成功概率。
2. 利用条件求θ：通过已知条件$P\{X \leq 2\} = \frac{5}{9}$，列出方程求解θ的值。
3. 代入求目标概率：将求得的θ代入$P\{X=3\}$的表达式中计算。

破题关键点：

• 正确写出前两项概率之和：$P\{X=1\} + P\{X=2\}$。
• 解二次方程时注意θ的范围：需保证$0 < \theta < 1$。

步骤1：计算$P\{X \leq 2\}$
根据几何分布的定义：
$\begin{aligned}P\{X \leq 2\} &= P\{X=1\} + P\{X=2\} \\&= \theta(1-\theta)^{0} + \theta(1-\theta)^{1} \\&= \theta + \theta(1-\theta) \\&= \theta \left[1 + (1-\theta)\right] \\&= \theta(2-\theta).\end{aligned}$

步骤2：建立方程求解θ
根据题意，$\theta(2-\theta) = \frac{5}{9}$，整理得：
$9\theta^2 - 18\theta + 5 = 0.$
利用求根公式：
$\theta = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5}}{2 \cdot 9} = \frac{18 \pm 12}{18}.$
解得$\theta = \frac{5}{3}$（舍去，因$\theta < 1$）或$\theta = \frac{1}{3}$。

步骤3：计算$P\{X=3\}$
将$\theta = \frac{1}{3}$代入几何分布公式：
$P\{X=3\} = \theta(1-\theta)^{2} = \frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{27}.$