题目
7.设某种元件的寿命T(单位:h)的概率密度函数为-|||-f(x)= ^2),tgt 100, 0,tleqslant 100. .-|||-(1)试确定常数a;(2)一台设备中有3个这种元件,问在开始使用的150h中,这3个元件至少-|||-有1个损坏的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定常数a
根据概率密度函数的性质，概率密度函数在整个定义域上的积分应等于1。因此，我们有：
$$\int_{100}^{\infty} \frac{a}{t^2} dt = 1$$
计算积分：
$$\int_{100}^{\infty} \frac{a}{t^2} dt = \left[-\frac{a}{t}\right]_{100}^{\infty} = \frac{a}{100} = 1$$
解得：$a = 100$。
步骤 2：计算元件在150h内损坏的概率
元件在150h内损坏的概率等于元件寿命小于等于150h的概率，即：
$$P(T \leq 150) = \int_{100}^{150} \frac{100}{t^2} dt$$
计算积分：
$$P(T \leq 150) = \left[-\frac{100}{t}\right]_{100}^{150} = \frac{100}{100} - \frac{100}{150} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$
步骤 3：计算3个元件至少有1个损坏的概率
3个元件至少有1个损坏的概率等于1减去3个元件都未损坏的概率。元件未损坏的概率为$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$，因此3个元件都未损坏的概率为$(\frac{2}{3})^3$。所以，3个元件至少有1个损坏的概率为：
$$1 - (\frac{2}{3})^3 = 1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}$$
根据概率密度函数的性质，概率密度函数在整个定义域上的积分应等于1。因此，我们有：
$$\int_{100}^{\infty} \frac{a}{t^2} dt = 1$$
计算积分：
$$\int_{100}^{\infty} \frac{a}{t^2} dt = \left[-\frac{a}{t}\right]_{100}^{\infty} = \frac{a}{100} = 1$$
解得：$a = 100$。
步骤 2：计算元件在150h内损坏的概率
元件在150h内损坏的概率等于元件寿命小于等于150h的概率，即：
$$P(T \leq 150) = \int_{100}^{150} \frac{100}{t^2} dt$$
计算积分：
$$P(T \leq 150) = \left[-\frac{100}{t}\right]_{100}^{150} = \frac{100}{100} - \frac{100}{150} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$
步骤 3：计算3个元件至少有1个损坏的概率
3个元件至少有1个损坏的概率等于1减去3个元件都未损坏的概率。元件未损坏的概率为$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$，因此3个元件都未损坏的概率为$(\frac{2}{3})^3$。所以，3个元件至少有1个损坏的概率为：
$$1 - (\frac{2}{3})^3 = 1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}$$