[题目]当x→0时, https:/img.zuoyebang.cc/zyb_b9eb0bb857360dfa90f530726b806a1e.jpg-cos x 与axsinx是等价无穷小,-|||-则 a=

考查要点：本题主要考查等价无穷小的概念及泰勒展开或洛必达法则的应用。

解题核心思路：
当两个无穷小量 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 满足 $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$ 时，它们互为等价无穷小。因此，本题需通过展开或求导等方法，计算 $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{a x \sin x}$，并令其等于1，解出 $a$ 的值。

破题关键点：

1. 泰勒展开：将 $\cos x$ 展开到二次项，简化分子 $1 - \cos x$；
2. 近似替换：利用 $\sin x \approx x$ 进一步简化分母；
3. 极限计算：通过比值求极限，建立方程求解 $a$。

步骤1：展开分子 $1 - \cos x$
根据泰勒公式，$\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$，因此：
$1 - \cos x = \dfrac{x^2}{2} + o(x^2).$

步骤2：近似分母 $a x \sin x$
当 $x \to 0$ 时，$\sin x \approx x$，因此：
$a x \sin x \approx a x \cdot x = a x^2.$

步骤3：计算极限比值
将分子和分母的近似表达式代入极限：
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{a x \sin x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x^2}{2}}{a x^2} = \dfrac{1}{2a}.$

步骤4：根据等价无穷小条件求解 $a$
由等价无穷小定义，比值极限为1：
$\dfrac{1}{2a} = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \dfrac{1}{2}.$