题目
[题目]设 _(k)=(int )_(0)^kpi (e)^(x^2)sin xdx(k=1,2,3), 则有 ()-|||-A. _(1)lt (I)_(2)lt (I)_(3)-|||-B. _(3)lt (I)_(2)lt (I)_(1)-|||-C. _(2)lt (I)_(3)lt (I)_(1)-|||-D. _(2)lt (I)_(1)lt (I)_(3)
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析 ${I}_{2}-{I}_{1}$ 的符号
由于当 $x\in (\pi ,2\pi )$ 时 $\sin x\lt 0$ ,可知 ${\int }_{x}^{2x}{e}^{{x}^{2}}\sin xdx\lt 0$ ,也即 ${I}_{2}-{I}_{1}\lt 0$ ,可知 ${I}_{1}\gt {I}_{2}$ 。
步骤 2：分析 ${I}_{3}-{I}_{1}$ 的符号
对 ${\int }_{2\pi }^{3\pi }{e}^{{x}^{2}}\sin xdx$ 做变量代换 $\dfrac {1}{4}t=x-{\pi }^{2}$ 得: ${\int }_{2\pi }^{3\pi }{e}^{{x}^{2}}\sin xdx={\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{{(n+\pi )}^{2}}\sin $ $(t+\pi )dt=-{\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{{(t+\pi )}^{2}}sntdt=-$ ${\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{(x)\pi )}^{2}\sin xdx$ 故 ${\int }_{\pi }^{3\pi }{e}^{{x}^{2}}\sin xdx=$ ,由于当 $x\in (\pi ,2\pi )$ 时 ${\int }_{-}^{2x}({e}^{{x}^{2}}-{e}^{{(x+\pi )}^{2}})\sin xdx$ $\sin x\lt 0$ ${e}^{{x}^{2}}-{e}^{{(x+\pi )}^{2}}\lt 0$ . 可知 ${\int }_{x}^{3\pi }{e}^{{x}^{2}}\sin xdx\gt 0$ ,也即 ${I}_{3}-{I}_{1}\gt 0$ ,可知 ${I}_{3}\gt {I}_{1}$ 。
步骤 3：综合分析
综上所述有 ${I}_{2}\lt {I}_{1}\lt {I}_{3}$ ,故选(D)。
由于当 $x\in (\pi ,2\pi )$ 时 $\sin x\lt 0$ ,可知 ${\int }_{x}^{2x}{e}^{{x}^{2}}\sin xdx\lt 0$ ,也即 ${I}_{2}-{I}_{1}\lt 0$ ,可知 ${I}_{1}\gt {I}_{2}$ 。
步骤 2：分析 ${I}_{3}-{I}_{1}$ 的符号
对 ${\int }_{2\pi }^{3\pi }{e}^{{x}^{2}}\sin xdx$ 做变量代换 $\dfrac {1}{4}t=x-{\pi }^{2}$ 得: ${\int }_{2\pi }^{3\pi }{e}^{{x}^{2}}\sin xdx={\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{{(n+\pi )}^{2}}\sin $ $(t+\pi )dt=-{\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{{(t+\pi )}^{2}}sntdt=-$ ${\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{(x)\pi )}^{2}\sin xdx$ 故 ${\int }_{\pi }^{3\pi }{e}^{{x}^{2}}\sin xdx=$ ,由于当 $x\in (\pi ,2\pi )$ 时 ${\int }_{-}^{2x}({e}^{{x}^{2}}-{e}^{{(x+\pi )}^{2}})\sin xdx$ $\sin x\lt 0$ ${e}^{{x}^{2}}-{e}^{{(x+\pi )}^{2}}\lt 0$ . 可知 ${\int }_{x}^{3\pi }{e}^{{x}^{2}}\sin xdx\gt 0$ ,也即 ${I}_{3}-{I}_{1}\gt 0$ ,可知 ${I}_{3}\gt {I}_{1}$ 。
步骤 3：综合分析
综上所述有 ${I}_{2}\lt {I}_{1}\lt {I}_{3}$ ,故选(D)。