[题目]设 _(k)=(int )_(0)^kpi (e)^(x^2)sin xdx(k=1,2,3), 则有 ()-|||-A. _(1)lt (I)_(2)lt (I)_(3)-|||-B. _(3)lt (I)_(2)lt (I)_(1)-|||-C. _(2)lt (I)_(3)lt (I)_(1)-|||-D. _(2)lt (I)_(1)lt (I)_(3)

考查要点：本题主要考查定积分的比较，涉及被积函数在不同区间内的符号变化及变量代换的应用。

解题核心思路：

1. 分析被积函数的符号：由于$\sin x$在不同区间内的正负性，积分结果的增减趋势会变化。
2. 分段比较积分差异：通过计算$I_2 - I_1$和$I_3 - I_1$，结合变量代换，比较不同区间积分的大小关系。

破题关键点：

• 区间$\pi$到$2\pi$内$\sin x < 0$，导致$I_2 - I_1 < 0$，即$I_2 < I_1$。
• 变量代换分析$I_3 - I_1$：通过代换将区间$2\pi$到$3\pi$转换为$\pi$到$2\pi$，结合被积函数的指数部分增长特性，得出$I_3 > I_1$。

比较$I_2$与$I_1$

• 区间$\pi$到$2\pi$内$\sin x < 0$，因此：
  $I_2 - I_1 = \int_{\pi}^{2\pi} e^{x^2} \sin x \, dx < 0 \implies I_2 < I_1.$

比较$I_3$与$I_1$

1. 拆分$I_3 - I_1$：
   $I_3 - I_1 = \int_{\pi}^{3\pi} e^{x^2} \sin x \, dx = \int_{\pi}^{2\pi} e^{x^2} \sin x \, dx + \int_{2\pi}^{3\pi} e^{x^2} \sin x \, dx.$
2. 变量代换处理第二项：令$t = x - \pi$，则$x = t + \pi$，当$x \in [2\pi, 3\pi]$时，$t \in [\pi, 2\pi]$，且$\sin(t + \pi) = -\sin t$，因此：
   $\int_{2\pi}^{3\pi} e^{x^2} \sin x \, dx = -\int_{\pi}^{2\pi} e^{(t + \pi)^2} \sin t \, dt.$
3. 比较被积函数大小：在$t \in [\pi, 2\pi]$时，$(t + \pi)^2 > t^2$，故$e^{(t + \pi)^2} > e^{t^2}$，且$\sin t < 0$，因此：
   $-\int_{\pi}^{2\pi} e^{(t + \pi)^2} \sin t \, dt > -\int_{\pi}^{2\pi} e^{t^2} \sin t \, dt.$
4. 综合结果：
   $I_3 - I_1 = \underbrace{\int_{\pi}^{2\pi} e^{x^2} \sin x \, dx}_{<0} + \underbrace{\left(-\int_{\pi}^{2\pi} e^{(x + \pi)^2} \sin x \, dx\right)}_{> \text{原负积分}} > 0 \implies I_3 > I_1.$