题目
填空题83. (5.0分) int 2^xe^xdx=____.第一空请输入答案
填空题
83. (5.0分) $\int 2^{x}e^{x}dx=$____.
第一空
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题目解答
答案
设 $I = \int 2^x e^x \, dx$，应用分部积分法（$u = 2^x$，$dv = e^x \, dx$），得：
\[
I = 2^x e^x - \int e^x \cdot 2^x \ln 2 \, dx = 2^x e^x - \ln 2 \cdot I
\]
整理得：
\[
I (1 + \ln 2) = 2^x e^x \quad \Rightarrow \quad I = \frac{2^x e^x}{1 + \ln 2}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{2^x e^x}{1 + \ln 2} + C}$
解析
考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，特别是处理指数函数与指数函数乘积的不定积分。
解题核心思路：
通过分部积分法，将原积分转化为自身的形式，从而建立方程求解。关键在于合理选择分部积分中的$u$和$dv$，使得积分过程中能够出现原积分项，进而通过代数变形解出结果。
破题关键点：
- 选择$u = 2^x$，$dv = e^x dx$，计算对应的$du$和$v$。
- 应用分部积分公式后，发现新积分与原积分$I$成比例关系，从而建立方程。
- 通过代数变形解出$I$，并注意积分常数的添加。
设原积分为$I = \int 2^x e^x \, dx$，具体步骤如下：
选择分部积分变量
令$u = 2^x$，则$du = 2^x \ln 2 \, dx$；
令$dv = e^x \, dx$，则$v = e^x$。
应用分部积分公式
根据分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得：
$\begin{aligned}I &= 2^x e^x - \int e^x \cdot 2^x \ln 2 \, dx \\&= 2^x e^x - \ln 2 \cdot \int 2^x e^x \, dx \\&= 2^x e^x - \ln 2 \cdot I.\end{aligned}$
建立方程求解
将$I$的项移到左边：
$I + \ln 2 \cdot I = 2^x e^x \quad \Rightarrow \quad I (1 + \ln 2) = 2^x e^x.$
解得：
$I = \frac{2^x e^x}{1 + \ln 2} + C.$