题目
13.求微分方程(x^3+y^3)dx-3xy^2dy=0的通解.
13.求微分方程$(x^{3}+y^{3})dx-3xy^{2}dy=0$的通解.
题目解答
答案
将原方程改写为：
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{x^3 + y^3}{3xy^2}
\]
令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，代入得：
\[
u + x \frac{du}{dx} = \frac{1 + u^3}{3u^2}
\]
整理得：
\[
x \frac{du}{dx} = \frac{1 - 2u^3}{3u^2}
\]
分离变量并积分：
\[
\int \frac{3u^2}{1 - 2u^3} \, du = \int \frac{dx}{x}
\]
左边积分得：
\[
-\frac{1}{2} \ln |1 - 2u^3| = \ln |x| + C
\]
解得：
\[
1 - 2u^3 = \frac{C}{x^2}
\]
代回 $u = \frac{y}{x}$：
\[
1 - 2 \left( \frac{y}{x} \right)^3 = \frac{C}{x^2}
\]
整理得通解：
\[
\boxed{x^3 - 2y^3 = Cx}
\]