题目

5.求极限lim_(ntoinfty)(1+(1)/(n^2))(1+(2)/(n^2))...(1+(n)/(n^2)).

5.求极限$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2}{n^{2}}\right)\cdots\left(1+\frac{n}{n^{2}}\right).$

题目解答

答案

设 $x_n = \left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2}{n^2}\right)\cdots\left(1+\frac{n}{n^2}\right)$，取对数得 $$ \ln x_n = \sum_{k=1}^n \ln\left(1 + \frac{k}{n^2}\right). $$ 利用不等式 $x - \frac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x$（$x > 0$），代入 $x = \frac{k}{n^2}$ 求和，得 $$ \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n^2} - \frac{k^2}{2n^4}\right) < \ln x_n < \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}. $$ 计算和式： $$ \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2} = \frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2}, $$ $$ \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{2n^4} = \frac{(n+1)(2n+1)}{12n^3} \to 0. $$ 由夹逼准则，$\lim_{n \to \infty} \ln x_n = \frac{1}{2}$，故 $$ \lim_{n \to \infty} x_n = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}. $$ 答案：$\boxed{\sqrt{e}}$

解析

考查要点：本题主要考查无穷乘积的极限求解方法，涉及对数转换、夹逼定理的应用，以及等差数列、平方和的求和公式。

解题核心思路：

对数转换：将乘积转化为求和，简化计算。
不等式放缩：利用$\ln(1+x)$的不等式$x - \frac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x$，对每一项进行放缩。
夹逼定理：通过上下界求和的极限均为$\frac{1}{2}$，确定$\ln x_n$的极限，进而得到原式极限。

破题关键点：

正确应用$\ln(1+x)$的不等式，将乘积的对数表达式夹在两个和式之间。
准确计算$\sum \frac{k}{n^2}$和$\sum \frac{k^2}{n^4}$的极限，尤其是后者需用平方和公式。

设$x_n = \left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2}{n^2}\right)\cdots\left(1+\frac{n}{n^2}\right)$，取对数得：
$\ln x_n = \sum_{k=1}^n \ln\left(1 + \frac{k}{n^2}\right).$

利用不等式放缩：
对于$x > 0$，有$x - \frac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x$。令$x = \frac{k}{n^2}$，代入得：
$\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n^2} - \frac{k^2}{2n^4}\right) < \ln x_n < \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}.$

计算上下界和式：

上界和式：
$\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2} = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2} \quad (n \to \infty).$
下界和式：
$\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n^2} - \frac{k^2}{2n^4}\right) = \frac{n+1}{2n} - \frac{1}{2n^4} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$
其中，第二项化简为：
$\frac{(n+1)(2n+1)}{12n^3} \to 0 \quad (n \to \infty).$

应用夹逼定理：
上下界均趋近于$\frac{1}{2}$，故$\lim_{n \to \infty} \ln x_n = \frac{1}{2}$，因此：
$\lim_{n \to \infty} x_n = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}.$