12.（单选题，5.6分） 计算曲线积分int_(C)x dy-y dx，其中C是椭圆x^2+4y^2=4的逆时针方向.A. 2πB. 4πC. 6πD. 8π

本题考查利用格林公式计算曲线积分。解题思路是先判断曲线是否满足格林公式的条件，若满足则将曲线积分转化为二重积分，再通过合适的坐标变换计算二重积分。

1. 验证格林公式条件：
   • 格林公式为$\oint_{C}Pdx + Qdy=\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$，其中$C$为分段光滑的闭曲线，取正向，$D$是由$C$所围成的闭区域，$P$，$Q$在$D$上具有一阶连续偏导数。
   • 对于曲线积分$\int_{C}x dy - y dx$，这里$P=-y$，$Q = x$。
   • 计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$：
     • 对$Q = x$关于$x$求偏导数，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial(x)}{\partial x}=1$。
     • 对$P=-y$关于$y$求偏导数，可得$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial(-y)}{\partial y}=-1$。
   • 则$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2$。
   • 曲线$C$是椭圆$x^{2}+4y^{2}=4$，即$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1$，它是分段光滑的闭曲线，且取逆时针方向（正向），$P$，$Q$在椭圆所围成的闭区域$D$上具有一阶连续偏导数，满足格林公式的条件。
2. 将曲线积分转化为二重积分：
   • 由格林公式$\int_{C}x dy - y dx=\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$，把$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2$代入，可得$\int_{C}x dy - y dx=\iint_{D}2dxdy$，其中$D$是椭圆$x^{2}+4y^{2}=4$所围成的闭区域。
3. 计算二重积分：
   • 为了方便计算二重积分，进行坐标变换，令$x = 2r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$。
   • 计算雅可比行列式$J$：
     • $J=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial\theta}\\\frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial\theta}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2\cos\theta&-2r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{vmatrix}=2r\cos^{2}\theta + 2r\sin^{2}\theta=2r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=2r$（根据三角函数的平方关系$\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta = 1$）。
   • 椭圆$x^{2}+4y^{2}=4$在新坐标下变为$(2r\cos\theta)^{2}+4(r\sin\theta)^{2}=4$，即$4r^{2}\cos^{2}\theta + 4r^{2}\sin^{2}\theta=4$，化简得$r^{2}=1$，所以$0\leq r\leq1$，$0\leq\theta\leq2\pi$。
   • 则$\iint_{D}2dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}2\cdot|J|dr$。
   • 把$J = 2r$代入上式得：
     • $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}2\cdot2r dr=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}4r dr$。
     • 先计算内层积分$\int_{0}^{1}4r dr$，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得$\int_{0}^{1}4r dr=4\times\frac{1}{2}r^{2}\big|_{0}^{1}=2\times(1^{2}-0^{2}) = 2$。
     • 再计算外层积分$\int_{0}^{2\pi}2d\theta=2\theta\big|_{0}^{2\pi}=2\times(2\pi - 0)=4\pi$。