int xln (x-1)dx;

步骤 1：分部积分法
我们使用分部积分法来解决这个问题。分部积分法的公式是 $\int u dv = uv - \int v du$。这里，我们选择 $u = \ln(x-1)$ 和 $dv = x dx$。因此，$du = \frac{1}{x-1} dx$ 和 $v = \frac{1}{2}x^2$。
步骤 2：应用分部积分法
将 $u$ 和 $v$ 代入分部积分法的公式中，我们得到 $\int x\ln(x-1)dx = \frac{1}{2}x^2\ln(x-1) - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x-1} dx$。
步骤 3：简化积分
接下来，我们需要简化 $\int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x-1} dx$。我们可以通过多项式除法或部分分式分解来简化这个积分。这里，我们使用多项式除法，将 $\frac{x^2}{x-1}$ 分解为 $x+1+\frac{1}{x-1}$。因此，$\int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x-1} dx = \int \frac{1}{2}(x+1+\frac{1}{x-1}) dx$。
步骤 4：计算积分
现在，我们可以计算 $\int \frac{1}{2}(x+1+\frac{1}{x-1}) dx$。这等于 $\frac{1}{2}\int x dx + \frac{1}{2}\int 1 dx + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1} dx$。这进一步简化为 $\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\ln|x-1| + C$。
步骤 5：组合结果
最后，我们将步骤 2 和步骤 4 的结果组合起来，得到 $\int x\ln(x-1)dx = \frac{1}{2}x^2\ln(x-1) - \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\ln|x-1| + C$。