1.讨论下列函数列在所示区间D上是否一致收敛或内闭一致收敛,并说明理由:-|||-(1) _(n)(x)=sqrt ({x)^2+dfrac (1)({n)^2}} , =1,2,... , D=(-1,1) ;-|||-(2) _(n)(x)=dfrac (x)(1+{n)^2(x)^2} , n=1 ,2,···, =(-infty ,+infty ) ;-|||-,-|||-(3) _(n)(x)= 0, dfrac {1)(n+1)lt xlt 1, , n=1 ,2,···, =(-infty ,+infty ) -

一致收敛性的判断核心在于极限函数是否连续（若原函数列连续）以及余项sup|f_n(x)-f(x)|是否趋于0。内闭一致收敛则需验证在任意有界闭区间上是否一致收敛。关键点包括：

1. 余项分析：找到余项的最大值是否随n趋于0；
2. 紧集限制：在有界区间内，变量范围受限，可能使余项趋于0；
3. 反例构造：若存在某点使余项不趋于0，则不一致收敛。

(1) ${f}_{n}(x)=\sqrt {{x}^{2}+\dfrac {1}{{n}^{2}}}$，$D=(-1,1)$

点态极限：$f(x)=|x|$
余项分析：
$\sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}} - |x| = \frac{\frac{1}{n^2}}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}} + |x|} \leq \frac{1}{n^2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n}$
当$x=0$时，余项为$\frac{1}{n}$，故$\sup|f_n(x)-f(x)|=\frac{1}{n} \to 0$，一致收敛。

(2) ${f}_{n}(x)=\dfrac {x}{1+{n}^{2}{x}^{2}}$，$D=(-\infty,+\infty)$

点态极限：$f(x)=0$
余项分析：
求导得极大值点$x=\frac{1}{n}$，此时余项为$\frac{1}{2n}$，故$\sup|f_n(x)|=\frac{1}{2n} \to 0$，一致收敛。

(3) 分段函数$f_n(x)$

点态极限：$f(x)=0$（$x>0$），$f(0)=1$
余项分析：
在区间$0 \leq x \leq \frac{1}{n+1}$内，余项为$1 - (n+1)x$，当$x \to 0^+$时余项趋近于$1$，故$\sup|f_n(x)-f(x)|=1 \not\to 0$，不一致收敛。

(4) ${f}_{n}(x)=\dfrac {x}{n}$，$D=[0,+\infty)$

点态极限：$f(x)=0$
余项分析：
全局$\sup|f_n(x)|$无界，但在任意有界闭区间$[0,M]$上，$\sup|f_n(x)|=\frac{M}{n} \to 0$，故内闭一致收敛。

(5) ${f}_{n}(x)=\sin \dfrac {x}{n}$，$D=(-\infty,+\infty)$

点态极限：$f(x)=0$
余项分析：
全局$\sup|\sin\frac{x}{n}|=1 \not\to 0$，但在有界闭区间$[-M,M]$上，$\sin\frac{x}{n} \leq \frac{M}{n} \to 0$，故内闭一致收敛。