函数z=x^2-y^2在闭区域D: (x^2)/(4)+y^2 leq 1上的最大值和最小值分别是(）.A. 4,0B. 4,1C. 4,-1D. 0,-1

本题考查二元函数在闭区域上的最值问题。解题思路是先求出函数在区域内的驻点，再利用拉格朗日乘数法求出函数在区域边界上的可能极值点，最后比较驻点和边界上可能极值点的函数值，从而得到函数在闭区域上的最大值和最小值。

步骤一：求函数在区域 $D$ 内的驻点

对函数 $z = x^2 - y^2$ 分别求关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数：
$z_{x}=\frac{\partial z}{\partial x}=2x$
$z_{y}=\frac{\partial z}{\partial y}=-2y$
令 $\begin{cases}z_{x}=2x = 0\\z_{y}=-2y = 0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = 0\\y = 0\end{cases}$，所以函数 $z = x^2 - y^2$ 在区域 $D$ 内的驻点为 $(0,0)$，将其代入函数可得 $z(0,0)=0^2 - 0^2 = 0$。

步骤二：求函数在区域 $D$ 边界 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2} = 1$ 上的可能极值点

设 $F(x,y,\lambda)=x^2 - y^2 + \lambda(\frac{x^{2}}{4}+y^{2} - 1)$，分别求 $F$ 关于 $x$、$y$ 和 $\lambda$ 的偏导数，并令它们都为 $0$：
$F_{x}=\frac{\partial F}{\partial x}=2x + \frac{\lambda}{2}x = 0$ ①
$F_{y}=\frac{\partial F}{\partial y}=-2y + 2\lambda y = 0$ ②
$F_{\lambda}=\frac{\partial F}{\partial \lambda}=\frac{x^{2}}{4}+y^{2} - 1 = 0$ ③

由①式可得 $x(2 + \frac{\lambda}{2}) = 0$，则 $x = 0$ 或 $\lambda = -4$。

• 当 $x = 0$ 时，代入③式可得 $y^2 = 1$，解得 $y = \pm 1$，此时对应的点为 $(0,1)$ 和 $(0,-1)$，将这两点代入函数 $z = x^2 - y^2$ 可得 $z(0,1)=0^2 - 1^2 = -1$，$z(0,-1)=0^2 - (-1)^2 = -1$。
• 当 $\lambda = -4$ 时，代入②式可得 $-2y - 8y = 0$，即 $-10y = 0$，解得 $y = 0$，再将 $y = 0$ 代入③式可得 $\frac{x^{2}}{4} = 1$，解得 $x = \pm 2$，此时对应的点为 $(2,0)$ 和 $(-2,0)$，将这两点代入函数 $z = x^2 - y^2$ 可得 $z(2,0)=2^2 - 0^2 = 4$，$z(-2,0)=(-2)^2 - 0^2 = 4$。

步骤三：比较所有可能极值点的函数值

比较 $z(0,0)=0$，$z(0,1)= -1$，$z(0,-1)= -1$，$z(2,0)= 4$，$z(-2,0)= 4$ 的大小，可得最大值为 $4$，最小值为 $-1$。