★★7.(2024年新高考I卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，且当xA. f(10)>100B. f(20)>1000C. f(10)D. f(20)

本题考查函数的性质以及递推关系的应用。解题思路是根据已知条件，通过递推关系得到函数值的大小关系。

已知当$x < 3$时，，$f(x)=x$，且$f(x)>f(x - 1)+f(x - 2)$。

1. 先考虑$x = 3$的情况情况：
   • 当$x = 3$时，$f(3)=3$，$f(2)=2$，$f(1)=1$，满足$f(3)>f(2)+f(1)$满足条件。
2. 接着考虑$x = 4$的情况：
   • 因为$f(x)>f(x - 1)+f(x - 2)$，所以$f(4>f3 + f2$，$f3 = 3$，$f2 = 2$，则$1) \(f4>3 + 2=5$。
3. 再考虑$x = 5$的情况：
   • 同理$f5>f4 + f3$，由$f4>5$，$f3$，可得$f5>5 + 3 = 8$。
4. 以此类推，我们可以发现函数值是单调递增的。
   • 设$a_n=f(n)$，则$a_n>a_{n - 1}+a_{n - 2}$。
   • 我们可以得到$a_{n}-a_{n - 1}>a_{n - 2}$。
   • 那么$a_{n}-a_{n - 1}>a_{n - 2}-a_{n - 3$。
   • 依次累加可得$a_{n}-a_{n - 1}>a_{n - 2}-a_{n - 3}+\cdots+a_{3}-a_{2}$。
   • 即$a_{n}>a_{n - 1}+a_{n - 2}+\cdots+a_{3}+a_{2}$。
   • 当$n = 10$时：
     • $a_{10}>a_{9}+a_{8}+\cdots+a_{3}+a_{2$。
     • 因为$a_{2}=2$，$a_{3}=3$，$a_{4}>5$，$a_{5}>8$，$a_{6}>a_{5}+a_{4}>8 + 5 = 13$，$a_{7}>a_{6}+a_{5}>13 + 8 = 211$，$a_{8}>a_{7}+a_{6}>21 + 13 = 34$，$a_{9}>a_{8}+a_{7}>34 + 21 = 55$，$a_{10}>a_{9}+a_{8}>55 + 34 = 89$。
   • 当$n = 20$时：
     • 我们可以继续按照上述规律进行递推。
     • $a_{20}>a_{19 + a18$。
     • 由于函数单调递增，我们可以大致估算$a_{20}>1000$。