题目
一个半径R的均匀圆环,其线密度为,在圆环的轴线上距离圆心x处有一质量m的质点,圆环对质点的引力大小为()(已知万有引力常量为G)
一个半径R的均匀圆环,其线密度为
,在圆环的轴线上距离圆心x处有一质量m的质点,圆环对质点的引力大小为()(已知万有引力常量为G)
题目解答
答案
把圆环分割成无数个小段，设每一小段的长度为
，质量为
。
根据万有引力定律，这一小段对质点的引力大小为
（G是万有引力常数，r是小段到质点的距离），这里
引力在x轴方向的分量
（
是引力与x轴的夹角），而
，所以
由于圆环是均匀的，对整个圆环积分求合力,所以圆环对质点的引力大小$F$为：
，选A。
解析
步骤 1：分割圆环
将圆环分割成无数个小段，设每一小段的长度为△l，质量为$\Delta M=\mu \Delta l$，其中$\mu$是线密度。
步骤 2：计算引力
根据万有引力定律，这一小段对质点的引力大小为$\Delta F=G\dfrac {\Delta Mm}{{r}^{2}}$（G是万有引力常数，r是小段到质点的距离），这里$r=\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}}$。
步骤 3：计算引力在x轴方向的分量
引力在x轴方向的分量$\Delta {F}_{x}=\Delta F\cos \theta $（$\theta$是引力与x轴的夹角），而$\cos \theta =\dfrac {x}{r}=\dfrac {x}{\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}}}$，所以$\Delta {F}_{x}=G\dfrac {\Delta Mm}{{r}^{2}}\dfrac {x}{r}=G\dfrac {\mu mx}{{({R}^{2}+{x}^{2})}^{\dfrac {3}{2}}}$。
步骤 4：积分求合力
由于圆环是均匀的，对整个圆环积分求合力，所以圆环对质点的引力大小$F$为：
$F={\int }_{\Delta {F}_{x}}={\int }_{0}^{2\pi R}G\dfrac {\mu mx}{{({R}^{2}+{x}^{2})}^{\dfrac {3}{2}}}dt$。
将圆环分割成无数个小段，设每一小段的长度为△l，质量为$\Delta M=\mu \Delta l$，其中$\mu$是线密度。
步骤 2：计算引力
根据万有引力定律，这一小段对质点的引力大小为$\Delta F=G\dfrac {\Delta Mm}{{r}^{2}}$（G是万有引力常数，r是小段到质点的距离），这里$r=\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}}$。
步骤 3：计算引力在x轴方向的分量
引力在x轴方向的分量$\Delta {F}_{x}=\Delta F\cos \theta $（$\theta$是引力与x轴的夹角），而$\cos \theta =\dfrac {x}{r}=\dfrac {x}{\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}}}$，所以$\Delta {F}_{x}=G\dfrac {\Delta Mm}{{r}^{2}}\dfrac {x}{r}=G\dfrac {\mu mx}{{({R}^{2}+{x}^{2})}^{\dfrac {3}{2}}}$。
步骤 4：积分求合力
由于圆环是均匀的，对整个圆环积分求合力，所以圆环对质点的引力大小$F$为：
$F={\int }_{\Delta {F}_{x}}={\int }_{0}^{2\pi R}G\dfrac {\mu mx}{{({R}^{2}+{x}^{2})}^{\dfrac {3}{2}}}dt$。