题目
关于复变函数的积分,以下说法是正确的是() A. 复变函数的积分结果一定是虚部不为零的复数B. 复变函数的积分一定是实数C. 反转积分路径,积分结果会变号D. 复变函数的积分与积分路径无关
关于复变函数的积分,以下说法是正确的是()
- A. 复变函数的积分结果一定是虚部不为零的复数
- B. 复变函数的积分一定是实数
- C. 反转积分路径,积分结果会变号
- D. 复变函数的积分与积分路径无关
题目解答
答案
C
解析
步骤 1：复变函数积分的定义
复变函数的积分定义为：对于复变函数 \(f(z)\) 在复平面上的曲线 \(C\) 上的积分，可以表示为 \(\int_C f(z) dz\)，其中 \(z\) 是复变量，\(dz\) 是复数微分。
步骤 2：积分路径反转的影响
当积分路径 \(C\) 反转时，积分路径的方向改变，积分变量 \(z\) 的变化方向也改变，因此积分结果会变号。即如果原积分路径为 \(C\)，反转后的路径为 \(-C\)，则有 \(\int_{-C} f(z) dz = -\int_C f(z) dz\)。
步骤 3：积分结果的性质
复变函数的积分结果可以是实数，也可以是复数，取决于被积函数和积分路径。因此，复变函数的积分结果不一定是虚部不为零的复数，也不一定是实数。
步骤 4：积分路径的影响
复变函数的积分结果一般与积分路径有关，除非被积函数在积分路径所围成的区域内是解析的，且没有奇点，此时积分结果与路径无关。
复变函数的积分定义为：对于复变函数 \(f(z)\) 在复平面上的曲线 \(C\) 上的积分，可以表示为 \(\int_C f(z) dz\)，其中 \(z\) 是复变量，\(dz\) 是复数微分。
步骤 2：积分路径反转的影响
当积分路径 \(C\) 反转时，积分路径的方向改变，积分变量 \(z\) 的变化方向也改变，因此积分结果会变号。即如果原积分路径为 \(C\)，反转后的路径为 \(-C\)，则有 \(\int_{-C} f(z) dz = -\int_C f(z) dz\)。
步骤 3：积分结果的性质
复变函数的积分结果可以是实数，也可以是复数，取决于被积函数和积分路径。因此，复变函数的积分结果不一定是虚部不为零的复数，也不一定是实数。
步骤 4：积分路径的影响
复变函数的积分结果一般与积分路径有关，除非被积函数在积分路径所围成的区域内是解析的，且没有奇点，此时积分结果与路径无关。