题目
1.(24分)求下列微分方程的通解:-|||-(1) '-yln y=0;
题目解答
答案
解析
步骤 1：分离变量
将微分方程 $xy'-y\ln y=0$ 重写为 $y'=\frac{y\ln y}{x}$ 的形式，然后分离变量得到 $\frac{dy}{y\ln y}=\frac{dx}{x}$。
步骤 2：积分
对等式两边分别积分，左边积分 $\int \frac{dy}{y\ln y}$，右边积分 $\int \frac{dx}{x}$。
步骤 3：求解
左边积分 $\int \frac{dy}{y\ln y}$ 可以通过换元法求解，设 $u=\ln y$，则 $du=\frac{1}{y}dy$，从而积分变为 $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C_1=\ln|\ln y|+C_1$。右边积分 $\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C_2$。将两边积分结果相等，得到 $\ln|\ln y|=\ln|x|+C$，其中 $C=C_2-C_1$。
步骤 4：化简
将上一步得到的等式化简，得到 $\ln y=e^{C}x$，即 $y=e^{e^{C}x}$。由于 $e^{C}$ 是一个常数，可以记为 $c$，因此通解为 $y=c{e}^{x}$。
步骤 5：考虑特殊情况
当 $y=1$ 时，原方程也成立，因此 $y=1$ 也是方程的一个解。
将微分方程 $xy'-y\ln y=0$ 重写为 $y'=\frac{y\ln y}{x}$ 的形式，然后分离变量得到 $\frac{dy}{y\ln y}=\frac{dx}{x}$。
步骤 2：积分
对等式两边分别积分，左边积分 $\int \frac{dy}{y\ln y}$，右边积分 $\int \frac{dx}{x}$。
步骤 3：求解
左边积分 $\int \frac{dy}{y\ln y}$ 可以通过换元法求解，设 $u=\ln y$，则 $du=\frac{1}{y}dy$，从而积分变为 $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C_1=\ln|\ln y|+C_1$。右边积分 $\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C_2$。将两边积分结果相等，得到 $\ln|\ln y|=\ln|x|+C$，其中 $C=C_2-C_1$。
步骤 4：化简
将上一步得到的等式化简，得到 $\ln y=e^{C}x$，即 $y=e^{e^{C}x}$。由于 $e^{C}$ 是一个常数，可以记为 $c$，因此通解为 $y=c{e}^{x}$。
步骤 5：考虑特殊情况
当 $y=1$ 时，原方程也成立，因此 $y=1$ 也是方程的一个解。