[题目]证明:方程 ^5+x-1=0 只有一个正-|||-根。

考查要点：本题主要考查利用导数分析函数单调性，结合零点存在定理证明方程实根唯一性。

解题核心思路：

1. 构造函数：将方程转化为函数形式$f(x) = x^5 + x - 1$。
2. 分析单调性：通过求导证明函数在整个定义域内严格递增，从而确定函数最多只有一个零点。
3. 验证零点存在性：利用中间值定理，结合$f(0) < 0$和$f(1) > 0$，说明函数在区间$(0,1)$内存在零点。
4. 唯一性结论：结合单调性和零点存在性，得出方程仅有一个正根。

破题关键点：

• 导数恒正：通过$f'(x) = 5x^4 + 1 > 0$证明函数严格递增。
• 区间端点函数值符号变化：通过$f(0)$和$f(1)$的值确定零点存在区间。

步骤1：构造函数并求导

设函数$f(x) = x^5 + x - 1$，求导得：
$f'(x) = 5x^4 + 1$
由于$x^4 \geq 0$，故$f'(x) = 5x^4 + 1 \geq 1 > 0$，说明$f(x)$在$\mathbb{R}$上严格递增。

步骤2：验证零点存在性

计算区间端点处的函数值：

• 当$x = 0$时，$f(0) = 0^5 + 0 - 1 = -1 < 0$；
• 当$x = 1$时，$f(1) = 1^5 + 1 - 1 = 1 > 0$。

根据中间值定理，函数$f(x)$在区间$(0,1)$内至少存在一个零点$x_0$。

步骤3：唯一性证明

由于$f(x)$在$\mathbb{R}$上严格递增，且仅在$(0,1)$内存在零点，因此方程$x^5 + x - 1 = 0$唯一的实根位于$(0,1)$内，且为正根。