题目 设 f(x) 在 [0,1] 上连续 , 在 (0,1) 内可导 , 且 f(1)=0, 证明：存在一点 ξ∈(0,1), 使 2f(ξ)+ξf′(ξ)=0.

考查要点：本题主要考查罗尔定理的应用以及辅助函数的构造能力。关键在于通过构造适当的函数，将原问题转化为罗尔定理的适用条件。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：通过观察目标方程形式，构造一个包含$f(x)$及其导数的函数，使其导数与题目中的表达式相关联。
2. 验证罗尔定理条件：确认构造的函数在闭区间上连续、开区间内可导，且端点函数值相等。
3. 应用罗尔定理：得出导数为零的点，进而推导出原方程成立。

破题关键点：

• 选择$x^2f(x)$作为辅助函数，其导数形式恰好包含题目中的$2f(\xi) + \xi f'(\xi)$，通过除以$\xi$即可得到目标方程。

构造辅助函数
令$F(x) = x^2 f(x)$，则：

1. 连续性：$F(x)$在$[0,1]$上连续（因$f(x)$连续，多项式函数$x^2$连续，乘积连续）。
2. 可导性：$F(x)$在$(0,1)$内可导（因$f(x)$可导，$x^2$可导，乘积可导）。
3. 端点值：
   • $F(0) = 0^2 \cdot f(0) = 0$，
   • $F(1) = 1^2 \cdot f(1) = 0$（由题设$f(1)=0$）。

应用罗尔定理
根据罗尔定理，存在$\xi \in (0,1)$，使得$F'(\xi) = 0$。计算导数：
$F'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 f(x) \right) = 2x f(x) + x^2 f'(x).$
令$F'(\xi) = 0$，得：
$2\xi f(\xi) + \xi^2 f'(\xi) = 0.$
化简方程
两边同除以$\xi$（$\xi \neq 0$），得：
$2f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0.$
即证存在$\xi \in (0,1)$满足题设方程。