1、已知函数f(x,y)在[0,1]上具有二阶导数,且f(0)=0,f(1)=1.f(xjdx=1,证明(1)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=0(2)存在n∈(0,1),使得f(n)<-2

题目考察知识

本题主要考察积分中值定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用，以及通过构造辅助函数证明导数不等式的方法。

（1）存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=0$的证明思路

1. 积分中值定理的应用：
   已知$\int_{0}^{1}f(x)\text{d}x=1$，根据积分中值定理，存在$c\in(0,1)$，使得：
   $\int_{0}^{1}f(x)\text{d}x = f(c)\cdot(1-0) = f(c)$
   因此$f(c)=1$。

2. 罗尔定理的应用：
   函数$f(x)$在$[0,1]$上具有二阶导数，故$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导。
   注意到$f(c)=1$且$f(1)=1$（题目条件），即$f(x)$在区间$[c,1]\subset[0,1]$上满足罗尔定理的条件：端点函数值相等。
   由罗尔定理，存在$\xi\in(c,1)\subset(0,1)$，使得$f'(\xi)=0$。

（2）存在$\eta\in(0,1)$，使得$f''(\eta)<-2$的证明思路

1. 构造辅助函数：
   设$F(x)=f(x)+x^2$，则$F(x)$的二阶导数为$F''(x)=f''(x)+2$，需证$f''(\eta)<-2$等价于证$F''(\eta)<0$。

2. 拉格朗日中值定理的应用：

   • $F(0)=f(0)+0^2=0$（$f(0)=0$），$F(c)=f(c)+c^2=1+c^2$（$f(c)=1$），$F(1)=f(1)+1^2=2$（$f(1)=1$）。
   • 在区间$[0,c]$上，由拉格朗日中值定理，存在$x_1\in(0,c)$：
     $F'(x_1)=\frac{F(c)-F(0)}{c-0}=\frac{1+c^2}{c}=c+\frac{1}{c}$
   • 在区间$[c,1]$上，由拉格朗日中值定理，存在$x_2\in(c,1)$：
     $F'(x_2)=\frac{F(1)-F(c)}{1-c}=\frac{2-(1+c^2)}{1-c}=\frac{1-c^2}{1-c}=1+c$

3. 罗尔定理的二次应用：
   对$F'(x)$在$[x_1,x_2]$上应用拉格朗日中值定理（或罗尔定理的思想），存在$\eta\in(x_1,x_2)\subset(0,1)$：
   $F''(\eta)=\frac{F'(x_2)-F'(x_1)}{x_2-x_1}$
   代入$F'(x_2)-F'(x_1)=(1+c)-(c+\frac{1}{c})=1-\frac{1}{c}$，且$x_2-x_1>0$，则：
   $F''(\eta)=\frac{1-\frac{1}{c}}{x_2-x_1}$
   因$c\in(0,1)$，$1-\frac{1}{c}<0$，故$F''(\eta)<0$，即$f''(\eta)+2<0$，从而$f''(\eta)<-2$。