题目

5、将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X,Y）的联合分布律。

题目解答

答案

解：由题可知X可取值为：0,1,2,3；Y可取值为：1,3

且均匀硬币正反面的概率都为 $\frac{1}{2}$

则可知 $P\left\{X=0,Y=1\right\}=P\left\{X=1,Y=3\right\}=P\left\{X=2,Y=3\right\}=P\left\{X=3,Y=1\right\}=0$

$P\left\{X=0,Y=3\right\}=\frac{1}{8}$

$P\left\{X=1,Y=1\right\}=C_3^1\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{8}$

$P\left\{X=2,Y=1\right\}=C_3^2\left(\frac{1}{2}\right)^2\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$

$P\left\{X=3,Y=3\right\}=\frac{1}{8}$

故（X,Y）的联合分布律为

解析

步骤 1：确定X和Y的取值范围
X表示三次试验中出现正面的次数，因此X的取值范围为0,1,2,3。
Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，因此Y的取值范围为1,3。

步骤 2：计算联合分布律
对于每一对(X,Y)的取值，计算其概率。
- 当X=0时，Y=3，即三次试验中没有出现正面，概率为$\dfrac {1}{2} \times \dfrac {1}{2} \times \dfrac {1}{2} = \dfrac {1}{8}$。
- 当X=1时，Y=1，即三次试验中出现一次正面，概率为${C}_{3}^{1} \times \dfrac {1}{2} \times (\dfrac {1}{2})^{2} = \dfrac {3}{8}$。
- 当X=2时，Y=1，即三次试验中出现两次正面，概率为${C}_{3}^{2} \times (\dfrac {1}{2})^{2} \times \dfrac {1}{2} = \dfrac {3}{8}$。
- 当X=3时，Y=3，即三次试验中出现三次正面，概率为$\dfrac {1}{2} \times \dfrac {1}{2} \times \dfrac {1}{2} = \dfrac {1}{8}$。

步骤 3：整理联合分布律
根据上述计算，整理出(X,Y)的联合分布律。