题目
在柱坐标下计算 I=iiint_(Omega) f(x,y,z), dv，其中 Omega 由坐标面及 x+y+z=1 围成，则 I= _______. A. int_(0)^(pi)/(2) dtheta int_(0)^1 dr int_(0)^1-rcostheta-rsintheta f(rcostheta, rsintheta, z), dzB. int_(0)^(pi)/(2) dtheta int_(0)^1 dr int_(0)^1-rcostheta-rsintheta f(rcostheta, rsintheta, z), dzC. int_(0)^pi dtheta int_(0)^1 dr int_(0)^1-rcostheta-rsintheta f(x, y, z), dzD. int_(0)^pi dtheta int_(0)^1 dr int_(0)^1-rcostheta-rsintheta f(rcostheta, rsintheta, z), dz
在柱坐标下计算 $I=\iiint_{\Omega} f(x,y,z)\, dv$，其中 $\Omega$ 由坐标面及 $x+y+z=1$ 围成，则 $I=$ _______.
- A. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{1} dr \int_{0}^{1-r\cos\theta-r\sin\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)\, dz$
- B. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{1} dr \int_{0}^{1-r\cos\theta-r\sin\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)\, dz$
- C. $\int_{0}^{\pi} d\theta \int_{0}^{1} dr \int_{0}^{1-r\cos\theta-r\sin\theta} f(x, y, z)\, dz$
- D. $\int_{0}^{\pi} d\theta \int_{0}^{1} dr \int_{0}^{1-r\cos\theta-r\sin\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)\, dz$
题目解答
答案
为了在柱坐标下计算积分 $ I = \iiint \limits_{D} f(x,y,z) \, dv $，其中区域 $ D $ 由坐标面和 $ x + y + z = 1 $ 围成，我们需要将积分转换为柱坐标。在柱坐标中，变量 $ x $， $ y $，和 $ z $ 分别表示为 $ x = r \cos \theta $， $ y = r \sin \theta $，和 $ z = z $。体积元素 $ dv $ 变为 $ r \, dz \, dr \, d\theta $。
区域 $ D $ 在 $ xy $-平面上的投影是一个直角三角形，顶点位于 $ (0,0) $， $ (1,0) $，和 $ (0,1) $。在柱坐标中，这个三角形由 $ 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $ 和 $ 0 \leq r \leq \frac{1}{\cos \theta + \sin \theta} $ 描述。对于 $ z $ 的上界，由平面 $ x + y + z = 1 $ 给出，可以写为 $ z = 1 - r \cos \theta - r \sin \theta $。
因此，积分 $ I $ 在柱坐标下变为：
\[
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{1}{\cos \theta + \sin \theta}} \int_{0}^{1 - r \cos \theta - r \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) \, r \, dz \, dr \, d\theta.
\]
因此，正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
步骤 1：确定积分区域 $\Omega$ 在柱坐标下的表示
积分区域 $\Omega$ 由坐标面及 $x+y+z=1$ 围成。在柱坐标下，$x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，$z = z$。因此，$x+y+z=1$ 变为 $r \cos \theta + r \sin \theta + z = 1$，即 $z = 1 - r \cos \theta - r \sin \theta$。积分区域 $\Omega$ 在柱坐标下的表示为 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq r \leq \frac{1}{\cos \theta + \sin \theta}$，$0 \leq z \leq 1 - r \cos \theta - r \sin \theta$。
步骤 2：写出积分在柱坐标下的表达式
在柱坐标下，体积元素 $dv$ 变为 $r \, dz \, dr \, d\theta$。因此，积分 $I$ 在柱坐标下变为：
\[ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{1}{\cos \theta + \sin \theta}} \int_{0}^{1 - r \cos \theta - r \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) \, r \, dz \, dr \, d\theta. \]
步骤 3：确定正确答案
根据步骤 2 的表达式，正确答案是选项 B，即：
\[ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{1} dr \int_{0}^{1-r\cos\theta-r\sin\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)\, dz. \]
积分区域 $\Omega$ 由坐标面及 $x+y+z=1$ 围成。在柱坐标下，$x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，$z = z$。因此，$x+y+z=1$ 变为 $r \cos \theta + r \sin \theta + z = 1$，即 $z = 1 - r \cos \theta - r \sin \theta$。积分区域 $\Omega$ 在柱坐标下的表示为 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq r \leq \frac{1}{\cos \theta + \sin \theta}$，$0 \leq z \leq 1 - r \cos \theta - r \sin \theta$。
步骤 2：写出积分在柱坐标下的表达式
在柱坐标下，体积元素 $dv$ 变为 $r \, dz \, dr \, d\theta$。因此，积分 $I$ 在柱坐标下变为：
\[ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{1}{\cos \theta + \sin \theta}} \int_{0}^{1 - r \cos \theta - r \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) \, r \, dz \, dr \, d\theta. \]
步骤 3：确定正确答案
根据步骤 2 的表达式，正确答案是选项 B，即：
\[ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{1} dr \int_{0}^{1-r\cos\theta-r\sin\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)\, dz. \]