题目
390 中等题 在区间(a,b)内，若f'(x)=g'(x)，则下列各式中正确的是( )A. f(x)=g(x)B. f(x)=g(x)+1C. (int f(x)dx)’=(int g(x)dx)’D. int df(x)=int dg(x)
390 中等题 在区间(a,b)内，若f'(x)=g'(x)，则下列各式中正确的是( )
A. $f(x)=g(x)$
B. $f(x)=g(x)+1$
C. $\left(\int f(x)dx\right)’=\left(\int g(x)dx\right)’$
D. $\int df(x)=\int dg(x)$
题目解答
答案
D. $\int df(x)=\int dg(x)$
解析
步骤 1：理解导数相等的含义
已知 $f'(x) = g'(x)$，这意味着函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内的导数相等。根据微积分的基本定理，如果两个函数的导数相等，那么这两个函数之间只相差一个常数。即存在常数 $C$ 使得 $f(x) = g(x) + C$。
步骤 2：分析选项 A
选项 A 声称 $f(x) = g(x)$。然而，根据步骤 1 的结论，$f(x)$ 和 $g(x)$ 之间可能相差一个常数 $C$，因此 $f(x) = g(x)$ 只在 $C = 0$ 的情况下成立，这并不是一个普遍的结论。因此，选项 A 错误。
步骤 3：分析选项 B
选项 B 声称 $f(x) = g(x) + 1$。根据步骤 1 的结论，$f(x)$ 和 $g(x)$ 之间可能相差一个常数 $C$，但这个常数 $C$ 并不一定等于 1。因此，选项 B 错误。
步骤 4：分析选项 C
选项 C 声称 $\left(\int f(x)dx\right)' = \left(\int g(x)dx\right)'$。根据微积分的基本定理，$\int f(x)dx$ 和 $\int g(x)dx$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的不定积分，它们之间相差一个常数。因此，它们的导数相等，即 $\left(\int f(x)dx\right)' = f(x)$ 和 $\left(\int g(x)dx\right)' = g(x)$。然而，这仅当 $C = 0$ 时成立，因此选项 C 错误。
步骤 5：分析选项 D
选项 D 声称 $\int df(x) = \int dg(x)$。根据微分的定义，$df(x) = f'(x)dx$ 和 $dg(x) = g'(x)dx$。由于 $f'(x) = g'(x)$，因此 $df(x) = dg(x)$。对两边积分，得到 $\int df(x) = \int dg(x)$，这表明选项 D 正确。
已知 $f'(x) = g'(x)$，这意味着函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内的导数相等。根据微积分的基本定理，如果两个函数的导数相等，那么这两个函数之间只相差一个常数。即存在常数 $C$ 使得 $f(x) = g(x) + C$。
步骤 2：分析选项 A
选项 A 声称 $f(x) = g(x)$。然而，根据步骤 1 的结论，$f(x)$ 和 $g(x)$ 之间可能相差一个常数 $C$，因此 $f(x) = g(x)$ 只在 $C = 0$ 的情况下成立，这并不是一个普遍的结论。因此，选项 A 错误。
步骤 3：分析选项 B
选项 B 声称 $f(x) = g(x) + 1$。根据步骤 1 的结论，$f(x)$ 和 $g(x)$ 之间可能相差一个常数 $C$，但这个常数 $C$ 并不一定等于 1。因此，选项 B 错误。
步骤 4：分析选项 C
选项 C 声称 $\left(\int f(x)dx\right)' = \left(\int g(x)dx\right)'$。根据微积分的基本定理，$\int f(x)dx$ 和 $\int g(x)dx$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的不定积分，它们之间相差一个常数。因此，它们的导数相等，即 $\left(\int f(x)dx\right)' = f(x)$ 和 $\left(\int g(x)dx\right)' = g(x)$。然而，这仅当 $C = 0$ 时成立，因此选项 C 错误。
步骤 5：分析选项 D
选项 D 声称 $\int df(x) = \int dg(x)$。根据微分的定义，$df(x) = f'(x)dx$ 和 $dg(x) = g'(x)dx$。由于 $f'(x) = g'(x)$，因此 $df(x) = dg(x)$。对两边积分，得到 $\int df(x) = \int dg(x)$，这表明选项 D 正确。