题目

如图所示，定滑轮A,B的质量均为A,B，半径A,B且均为已知，物体A,B质量分别为A,B和A,B。设绳子长度不变，并忽略其质量。如果绳子和滑轮间不打滑，滑轮与转轴间摩擦忽略，且可视为圆盘，物体A,B和A,B的加速度大小为( )，A,B两定滑轮的角加速度之比为( )A,B

如图所示，定滑轮 $A,B$ 的质量均为 $m$ ，半径 $R_B=2R_A$ 且均为已知，物体 $C,D$ 质量分别为 $2m$ 和 $m$ 。设绳子长度不变，并忽略其质量。如果绳子和滑轮间不打滑，滑轮与转轴间摩擦忽略，且可视为圆盘，物体 $C$ 和 $D$ 的加速度大小为( )， $A,B$ 两定滑轮的角加速度之比为( )

题目解答

答案

解：同一根绳上，张力大小处处相等，因此根据牛顿第二定律可知同一根绳上加速度大小也处处相等

即 $a_A:a_B=1:1$

根据匀速圆周运动公式可得 $ma=m\omega^2R=m\frac{4\pi^2}{T^2}R$

整理得 $\omega=\sqrt{\frac{a}{R}}$

根据角加速度公式可得 $\alpha=\frac{\omega}{t}$

联立得 $\alpha_1:\alpha_2=\frac{\sqrt{\frac{a_A}{R_A}}}{\sqrt{\frac{a_B}{R_B}}}=\sqrt{\frac{R_B}{R_A}}=\sqrt{2}:1$

所以本题分别填写 $1:1,\sqrt{2}:1$

解析

步骤 1：确定绳子上的加速度
同一根绳子上，张力大小处处相等，因此根据牛顿第二定律可知同一根绳子上加速度大小也处处相等。因此，物体I和物体D的加速度大小相等，即$a_A = a_B$。

步骤 2：计算角加速度
根据角加速度公式$\alpha = \frac{a}{R}$，其中$a$是线加速度，$R$是半径。对于滑轮A和滑轮B，它们的角加速度分别为$\alpha_A = \frac{a_A}{R_A}$和$\alpha_B = \frac{a_B}{R_B}$。由于$a_A = a_B$，且$R_B = 2R_A$，所以$\alpha_A = \frac{a_A}{R_A}$，$\alpha_B = \frac{a_B}{2R_A}$。因此，$\alpha_A : \alpha_B = \frac{a_A}{R_A} : \frac{a_B}{2R_A} = 2 : 1$。