(4)ointlimits_(S)x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy，其中S是单位球面x^2+y^2+z^2=1的外侧；
题目解答
答案
将曲面积分转换为三重积分，利用高斯公式：
$\oint\limits_{S} x^3 \, dy \, dz + y^3 \, dz \, dx + z^3 \, dx \, dy = \iiint\limits_{V} 3(x^2 + y^2 + z^2) \, dV$
在球坐标系中，$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$，体积元素 $dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi$，积分区域为 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq \pi$，$0 \leq \phi \leq 2\pi$。被积函数变为 $3r^2$，故积分化为：
$\iiint\limits_{V} 3r^4 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi = \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta \int_{0}^{1} 3r^4 \, dr$
计算得：
$\int_{0}^{1} 3r^4 \, dr = \frac{3}{5}, \quad \int_{0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta = 2, \quad \int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi$
结果为：
$\frac{3}{5} \times 2 \times 2\pi = \frac{12\pi}{5}$
答案： $\boxed{\frac{12\pi}{5}}$
解析
考查要点：本题主要考查高斯公式的应用以及球坐标系下三重积分的计算。
解题核心思路：
- 识别题目类型：题目给出闭曲面（单位球面外侧）上的曲面积分，优先考虑使用高斯公式将其转化为三重积分。
- 构造向量场：将曲面积分表达式拆分为向量场的分量，计算其散度。
- 转换坐标系：利用球坐标系简化积分计算，结合对称性快速求解。
破题关键点：
- 正确应用高斯公式，将曲面积分转换为散度的三重积分。
- 球坐标系的变量替换，将被积函数和体积元素转化为球坐标形式。
- 分步计算径向、极角、方位角的积分，简化计算过程。
应用高斯公式
原曲面积分可表示为：
$\oint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \oint_S (x^3 \, dy \, dz + y^3 \, dz \, dx + z^3 \, dx \, dy)$
其中向量场 $\mathbf{F} = (x^3, y^3, z^3)$。根据高斯公式：
$\oint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$
计算散度：
$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3) + \frac{\partial}{\partial y}(y^3) + \frac{\partial}{\partial z}(z^3) = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 3(x^2 + y^2 + z^2)$
因此，原积分转化为：
$\iiint_V 3(x^2 + y^2 + z^2) \, dV$
球坐标系转换
在球坐标系中：
- $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$
- 体积元素 $dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi$
- 积分区域：$0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq \pi$，$0 \leq \phi \leq 2\pi$
被积函数变为：
$3r^2 \cdot r^2 \sin \theta = 3r^4 \sin \theta$
积分表达式为：
$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} 3r^4 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi$
分步计算积分
-
径向积分：
$\int_{0}^{1} 3r^4 \, dr = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$ -
极角积分：
$\int_{0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta = 2$ -
方位角积分：
$\int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi$
最终结果：
$\frac{3}{5} \times 2 \times 2\pi = \frac{12\pi}{5}$