题目
(3) lim _(xarrow 0)dfrac (1-cos 3x)({sin )^2x}
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用三角恒等式简化表达式
我们知道 $\cos 3x = 1 - 2\sin^2\left(\frac{3x}{2}\right)$，因此 $1 - \cos 3x = 2\sin^2\left(\frac{3x}{2}\right)$。所以原式可以写为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\sin^2\left(\frac{3x}{2}\right)}{{\sin }^{2}x}$。
步骤 2：利用等价无穷小替换
当 $x \rightarrow 0$ 时，$\sin x \sim x$，因此 $\sin^2 x \sim x^2$，同时 $\sin^2\left(\frac{3x}{2}\right) \sim \left(\frac{3x}{2}\right)^2$。所以原式可以进一步简化为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\left(\frac{3x}{2}\right)^2}{x^2}$。
步骤 3：计算极限
将步骤 2 中的表达式简化，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\left(\frac{9x^2}{4}\right)}{x^2} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {9}{2} = \dfrac {9}{2}$。
我们知道 $\cos 3x = 1 - 2\sin^2\left(\frac{3x}{2}\right)$，因此 $1 - \cos 3x = 2\sin^2\left(\frac{3x}{2}\right)$。所以原式可以写为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\sin^2\left(\frac{3x}{2}\right)}{{\sin }^{2}x}$。
步骤 2：利用等价无穷小替换
当 $x \rightarrow 0$ 时，$\sin x \sim x$，因此 $\sin^2 x \sim x^2$，同时 $\sin^2\left(\frac{3x}{2}\right) \sim \left(\frac{3x}{2}\right)^2$。所以原式可以进一步简化为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\left(\frac{3x}{2}\right)^2}{x^2}$。
步骤 3：计算极限
将步骤 2 中的表达式简化，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\left(\frac{9x^2}{4}\right)}{x^2} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {9}{2} = \dfrac {9}{2}$。