25.设函数f(x)=(tan x)/(1-x^2)在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx^2+cx^3，则 A. a=1,b=0,c=-(2)/(3)B. a=1,b=0,c=(2)/(3)C. a=1,b=0,c=-(4)/(3)D. a=1,b=0,c=(4)/(3)

考查要点：本题主要考查泰勒多项式的展开方法，特别是分式函数与三角函数的乘积展开。需要掌握泰勒展开的基本公式，以及多项式乘法合并同类项的能力。

解题核心思路：

1. 分别展开分子和分母：将$\tan x$和$\frac{1}{1-x^2}$在$x=0$处展开到足够高的阶数（至少到$x^3$项）。
2. 相乘并截断高阶项：将两个展开式相乘，保留到$x^3$项，舍去更高次项。
3. 提取系数：根据结果确定$a$、$b$、$c$的值。

破题关键点：

• 正确展开$\tan x$和$\frac{1}{1-x^2}$：需记忆或推导它们的标准泰勒展开式。
• 注意乘积展开时的项数匹配：确保乘积后保留到$x^3$项，避免遗漏或错误合并。

步骤1：展开$\tan x$和$\frac{1}{1-x^2}$

1. $\tan x$的泰勒展开（到$x^3$项）：
   $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
2. $\frac{1}{1-x^2}$的泰勒展开（到$x^2$项）：
   $\frac{1}{1-x^2} = 1 + x^2 + o(x^3)$

步骤2：将两个展开式相乘

将$\tan x$和$\frac{1}{1-x^2}$的展开式相乘，保留到$x^3$项：
$\begin{aligned}f(x) &= \left( x + \frac{x^3}{3} \right) \left( 1 + x^2 \right) + o(x^3) \\&= x \cdot 1 + x \cdot x^2 + \frac{x^3}{3} \cdot 1 + \text{高阶小项} \\&= x + x^3 + \frac{x^3}{3} \\&= x + \frac{4}{3}x^3 + o(x^3)\end{aligned}$

步骤3：提取系数

对比$f(x) = ax + bx^2 + cx^3 + o(x^3)$，可得：

• $a = 1$（$x$项系数）
• $b = 0$（$x^2$项系数）
• $c = \frac{4}{3}$（$x^3$项系数）