题目
微分方程(dy)/(dx)=(y)/(x)+tan(y)/(x)的通解为()。A. sin(x)/(y)=CxB. sin(y)/(x)=CxC. sin(x)/(y)=(1)/(Cx)D. sin(y)/(x)=(1)/(Cx)
微分方程$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\tan\frac{y}{x}$的通解为()。
A. $\sin\frac{x}{y}=Cx$
B. $\sin\frac{y}{x}=Cx$
C. $\sin\frac{x}{y}=\frac{1}{Cx}$
D. $\sin\frac{y}{x}=\frac{1}{Cx}$
题目解答
答案
B. $\sin\frac{y}{x}=Cx$
解析
步骤 1：变量代换
设 $y = vx$，其中 $v$ 是 $x$ 的函数。根据链式法则，我们有 \[ \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}. \] 将 $y = vx$ 和 $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ 代入原微分方程，得到 \[ v + x\frac{dv}{dx} = v + \tan v. \]
步骤 2：简化方程
消去 $v$，得到 \[ x\frac{dv}{dx} = \tan v. \] 这是一个可分离变量的微分方程。我们分离变量，得到 \[ \frac{dv}{\tan v} = \frac{dx}{x}. \]
步骤 3：积分
我们两边积分。左边的积分是 $\int \cot v \, dv = \ln |\sin v| + C_1$，右边的积分是 $\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C_2$。因此，我们有 \[ \ln |\sin v| = \ln |x| + C, \] 其中 $C = C_2 - C_1$ 是任意常数。将对数项合并，得到 \[ \ln |\sin v| = \ln |Cx|, \] 其中 $C$ 是任意正数。两边取指数，得到 \[ |\sin v| = |Cx|. \] 由于 $C$ 是任意正数，我们可以写成 \[ \sin v = Cx, \] 其中 $C$ 是任意常数。回忆 $v = \frac{y}{x}$，所以代回得到 \[ \sin \frac{y}{x} = Cx. \]
设 $y = vx$，其中 $v$ 是 $x$ 的函数。根据链式法则，我们有 \[ \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}. \] 将 $y = vx$ 和 $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ 代入原微分方程，得到 \[ v + x\frac{dv}{dx} = v + \tan v. \]
步骤 2：简化方程
消去 $v$，得到 \[ x\frac{dv}{dx} = \tan v. \] 这是一个可分离变量的微分方程。我们分离变量，得到 \[ \frac{dv}{\tan v} = \frac{dx}{x}. \]
步骤 3：积分
我们两边积分。左边的积分是 $\int \cot v \, dv = \ln |\sin v| + C_1$，右边的积分是 $\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C_2$。因此，我们有 \[ \ln |\sin v| = \ln |x| + C, \] 其中 $C = C_2 - C_1$ 是任意常数。将对数项合并，得到 \[ \ln |\sin v| = \ln |Cx|, \] 其中 $C$ 是任意正数。两边取指数，得到 \[ |\sin v| = |Cx|. \] 由于 $C$ 是任意正数，我们可以写成 \[ \sin v = Cx, \] 其中 $C$ 是任意常数。回忆 $v = \frac{y}{x}$，所以代回得到 \[ \sin \frac{y}{x} = Cx. \]